金榜教程2014年高中数学231数乘向量课件北师大版必修.ppt

向量的线性运算1.对向量 的大小、方向及几何意义的理解是一个向量，不是一个实数，其几何意义是将表示 向量 的有向线段伸长或压缩. ①当|λ|>1时，表示向量 的有向线段在原方向(λ>0)或 反方向(λ0)或 反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|倍.,(2)当λ=0或 时， 其方向为任意，当λ>0时，与 方向相同；λ<0时， 与 方向相反. (3)向量 的大小为,2.对向量的线性运算的理解 (1)向量线性运算的种类,(2)向量线性运算的结果是向量，实数和代数式运算的结果 是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但其意 义却迥然不同.因此在类比实数的运算律学习向量的有关运 算律时务必经过严格证明后方可使用.向量同实数之间只能进行数乘运算，不能进行 加、减及除法运算,即 等都是错误的.,【例1】计算：【审题指导】利用向量的线性运算的法则求解,【规范解答】,【变式训练】若 化简 的结果为( )【解析】选A.,向量的表示用已知向量表示未知向量的求解思路 (1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中; (2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量; (3)求解过程体现了数学上的化归思想.,【例2】如图，在△ABC中，D、E 为边AB的两个三等分点，求 【审题指导】由D、E为边AB的两个三等分点可知A、B、D、 E四点共线，从而向量 均可以由向量 表示，而向 量 可由向量 表示，从而问题可解.,【规范解答】 又D、E为边AB的两个三等分点 所以 所以,【互动探究】在题设不变的情况下，求 .【解题提示】可利用向量共线定理或三角形法则求解. 【解析】,利用向量法证明几何问题1.利用向量法证明几何问题的常用方式 思路一：利用几个首尾顺次相接且能围成封闭图形的向量和为零向量这一特征，此法较简单，但思考容量大，一般不易想到. 思路二：可以构造一些新的向量，应用三角形法则直接求解，此法也是常规解法，思路清晰易思考.,2.向量线性运算几何意义应用中的常见结论:,【例】如图所示,已知D，E分别为△ABC的边AB\,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE到N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.【审题指导】本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题.,【规范解答】在△AMC中，D为MC的中点，又∵D是AB的中点,同理可证共线且有公共点A. ∴A、M、N三点共线.,【变式备选】如图，ABCD为一个四边形， E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中 点，求证：四边形EFGH为平行四边形.【解题提示】只需证明 即可 得出结论：EH=FG且EH∥FG.问题可解.,【解析】∵F、G分别为AB、AC的中点，同理∴四边形EFGH为平行四边形.,【典例】(12分)设两个非零向量 与 不共线. (1)若 求证：A、B、D三点共线. (2)试确定实数k,使 和 共线. 【审题指导】非零向量 与 满足的条件“不共线” (1)要证明A、B、D三点共线，只要建立 与 的等量关系 便可； (2)引入参数λ，使其满足 并由向量 与不共线求解该方程.,【规范解答】 共线 ……………………………………………4分 又 有公共点B, ∴A、B、D三点共线. …………………………………………6分,(2) 和 共线，则存在实数λ，使得 …………………………………8分 即 ∵非零向量 与 不共线, ∴k-λ=0且1-λk=0, …………………………………………10分 ∴k=±1. ………………………………………………………12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】设 是不共线的向量,已知向量若A,B,D三点共线,求k的值.【解题提示】证明存在实数λ，使得 【解析】 假设存在实数λ使 ∴ 得 ∴k=-8.,1. 等于( )【解析】选D.,2.AD是△ABC的中线,则 =( )【解析】选C.∵AD是△ABC的中线,结合向量的平行四边形法 则可知，,3.已知 则下列关系一定成立的是( ) (A)A，B，C三点共线 (B)A，B，D三点共线 (C)A，C，D三点共线 (D)B，C，D三点共线 【解析】选C. 且 有公共点C,故A，C，D三点共线.,4.已知非零向量 满足 则下列结论中正确的有 _______________.③向量 的方向相同； 【解析】 共线， 故②④正确；又且向量 的方向相反，故①③错误. 答案：②④,5.设 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的 有_________________.(只填序号) ① 与-λ 的方向相反； ②|-λ |≥| |； ③ 与λ2 方向相同； ④|-2λ|=2|λ|·| |.,【解析】①错误.当λ＞0时成立，当λ<0， 与-λ 方向 相同. ②错误.当λ≥1或λ≤-1时，|-λ |≥| |；当-1＜λ＜1 且λ≠0时，|-λ |＜| |. ③正确. ④正确.由数乘定义易知. 答案：③④,6.已知向量 是两个不共线的向量，且 与向量共线，求实数m的值. 【解析】由 与向量 共线可知， 存在实数λ满足 即 又 与 不共线，解得m=3或m=-1.,。