固体物理04-2.ppt

§4－2布洛赫（Bloch）定理,求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程 2 (k,r)＋E －V(r) (k,r)＝0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即 V(r)＝V（r＋Rn）＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）,一．布洛赫定理,晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面波. 即（以一维为例）（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波讨论：,1．电子出现的几率具有正晶格的周期性∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na） ∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2,2. 布洛赫定理的另一种表示 证明:∵ （k ,x）＝u（k，x）eikxu（k，x）＝u（k ,x+na）得：u（k，x）＝（k,x）e-ikx (A)u（k ,x+na）=（k ,x+na）e-ik(x+na)= e-ikx [e-ikna （k ,x+na）] (B) 比较（A）（B）二式，左右分别相等∴ （k ,x+na）＝（k ,x）eikna以上证明各步均可逆，故Bloch定理的两种表示等价。

3．函数（k ,x）本身并不具有正晶格的周期性 （k ,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na) = u（k，x+na）eikx× eikna= u（k，x）eikx× eikna = （k ,x）eikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1 ∴ （k ,x＋na）≠ （k ,x）,,二．Bloch 定理的证明,1．由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数展开：,,∴,(1),说明：,,,(2),(3),2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态――平面波eik•x展开,求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢k’进行的将（1）式和（2）式代入薛定谔方程得:,,,,将此式两边左乘e-ik*x,然后对整个晶体积分并利用平面波的正交归一性,得到（4）式,,利用δ函数的性质，得（4）式,该方程实际上是 动量表象中的薛定谔方程，称作中心方程K态与其相差不是一个倒格矢的态之间无耦合,方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态的系数C(K－Gn)……. 与K相差不是一个倒格矢的态不进入 方程（4），该结论也应适用于波函数 (k,x)。

因此波函数应当可写成,,与Bloch定理比较 （k ,x）＝u（k，x）eikx 需证明,∵Gh·Rn＝2m， 一维情况Rn=na, Ghna=2m exp(-iGhna)=1,=u(K,x+na),,,于是布洛赫定理得证三． 布洛赫定理的一些重要推论,（1）K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说： （A）（K＋Gh,r）＝ （K，r） （B）E（K＋Gh）＝E(K) 下面分别证明之 ∵ （k ,x）求和遍取所有允许的倒格矢,,,令G‘n －Gn=Gn’’,则 （∵ 求和也是遍取所有允许的倒格矢）,即相差任意倒格矢的状态等价与,由薛定谔方程 (k,r)=E(k)(k,r),等价,∴ E（k）=E(k+Gn)可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限制k在第一B.Z.内变化 第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢2）E（k）＝E（－k） 即能带具有k = 0的中心反演对称性。

（3）E（k）具有与正晶格相同的对称性四．能态密度,由布洛赫波所应满足的周期性边界条件：波矢k在空间分布是均匀，允许的波矢为每个k点在k空间平均占有的体积为k空间内，k点的密度为Vc/（2π）3能态密度：对给定体积的晶体，单位能量间隔的电子状态数在k空间，对某一能带n ,每一个k点对应此能带一个能量En, 反过来，对于一个给定的能量En,可以对应波矢空间一系列的k点，这些能量相等的k点形成一个曲面，称之为等能面 考虑E→E＋dE二个等能面之间的电子状态数在k空间等能面E和E＋dE之间，第n个能带所对应的波矢k数目为,,,,将k空间的体元dτk表示成dτk＝dSE·dk⊥ 由于 dE＝∣▽kEn(k) ∣·dk⊥ 故有,则E→E+dE之间，第n个能带所对应的状态数应为（考虑自旋应×2）：,,,其中D(En)即是第n个能带对E→E＋dE能量区间所贡献的状态密度如果能带之间没有交叠，则D（En）就是总的状态密度；如果有交叠，应对所有交叠带求和，即一般应写成 :,因此，只要由实验测出关系En(k)~k（或称能带结构）就可求得状态密度D（En）反过来，若由实验测得D（En），也可推测出能带结构En(k)。

在k空间，自由电子的等能面为球面,对应于一定的电子能量E,半径为,例：求自由电子的态密度函数D（E）,K空间中，在半径为∣k∣的球体积内的电子态数目，应等于球的体积乘以K空间单位体积内的电子态数Vc/4π3，即,,于是自由电子的态密度函数D（E）为,,,,E,D,。