新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第20题 导数解答题 （解析版）.doc

导数解答题核心考点考情统计考向预测备考策略切线方程，单调性，极值2023·北京卷T20可以预测2024年新高考命题方向将继续以几何意义，导数综合问题之单调性、极值最值、求解及证明问题为背景展开命题．导数大题难度较难，纵观近几年的新高考试题，主要极值最值、用导数研究函数单调性问题及参数范围求解、不等式证明问题、零点及恒成立问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容切线方程，单调性，证明问题2022·北京卷T20切线方程，极值、单调性、最值2021·北京卷T91.（2023·北京卷T20）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.2.（2022·北京卷T20）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）解：因为，    所以，令，则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.（3）解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.3.（2021·北京卷T19）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.1.导函数与原函数的关系单调递增，单调递减2.极值（1） 极值的定义在处先↗后↘，在处取得极大值在处先↘后↗，在处取得极小值3.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.　4.利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.　5.由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点.(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，可得极值点.6.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.　7.两招破解不等式的恒成立问题(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．8.常用函数不等式：①，其加强不等式；②，其加强不等式.③，，放缩，9.利用导数证明不等式问题：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可. 1．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)设，求函数的最小值；(3)若，求实数的值.【解】（1），则，所以曲线在处的切线方程为，即；（2），，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以；（3）函数的定义域为，当时，，则，即，即，由（2）得，令，则，所以在上单调递增，又当时，，因为，所以，此时不恒成立，故不符题意；当时，若，则，则，即，即，由上可知函数在上单调递增，所以，所以，解得①，若，则，即，即，由上可知函数在上单调递增，所以，所以，解得②，由①②可得，综上所述，.2．已知函数．(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；(2)当时，讨论的单调性；(3)若集合有且只有一个元素，求的值．【解】（1）当时，，所以,得到， 所以曲线在点处切线的斜率为．（2）当时，，易知的定义域为，又，因为，所以，所以时，，时，所以的单调递增区间为；单调递减区间为．（3）因为，所以，易知，当时，的定义域为，所以恒成立，故在上单调递增，又，所以不合题意，当时，的定义域为，此时，所以时，，时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为，所以．设，则，当时，，时，，所以的单调递减区间为；单调递增区间为．所以，所以集合有且只有一个元素时．3．已知函数.(1)求的图象在点处的切线方程；(2)讨论的单调区间；(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）【解】（1），，又，，故的图象在点处的切线方程为，即.（2），又，，则时，当，，单调递增；当，，单调递减；时，当，，单调递减；当，，单调递增；当，，单调递减；时，当，，在单调递减；时，当，，单调递减；当，，单调递增；当，，单调递减.综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；当，的单调减区间为，单调增区间为；当，的单调减区间为，没有单调增区间；当，的单调减区间为，单调增区间为.（3）若对任意，都有，则在上的最大值；由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，故；令，则，故在单调递增，又，则；故当时，，也即当时，对任意，都有.故的最大值为.4．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求的极值；(3)当时，判断零点个数，并说明理由．【解】（1）当时，则，，所以，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数的定义域为，且，令，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，又，所以当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，无极小值.（3）令，即，因为，所以，令，所以判断的零点个数，即判断的零点个数，又，，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，令，，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以当时有一个零点，即有一个零点，当时无零点，即无零点，综上可得当时有一个零点，当时无零点.5．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值与最小值；(3)当时，求证：．【解】（1），，，所以曲线在点处的切线方程为；（2），当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，所以函数的最小值为，最大值为，当时，，得，在区间小于0，函数单调递减，在区间大于0，函数单调递增，所以函数的最小值为，，，显然，所以函数的最大值为，综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，当时，函数的最小值为，最大值为；（3）当时，，即证明不等式，设，，，设，，，所以在单调递增，并且，，所以函数在上存在唯一零点，使，即，则在区间，，单调递减，在区间，，单调递增，所以的最小值为，由，得，且，所以，所以，即.6．设函数，曲线在点处的切线斜率为1．(1)求a的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求证：．【解】（1）由题意得的定义域为，，因为．所以，解得.（2）因为，的定义域为，，令，得，与在区间上的情况如下：x0-0+递减极小递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（3）证明：由（2）得，在时，取得最小值1，所以恒成立，所以在为增函数，又因为，当时，，所以；当时，，所以，当时，，综上，.7．已知函数.(1)求曲线的斜率为1的切线方程；(2)证明：；(3)设，求在区间上的最大值和最小值.【解】（1）因为，所以，令，解得，则，所以切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即.（2）因为定义域为，且，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，所以.（3）因为，，则，令，则，所以时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以使得，所以当时，当时，当时，即当时，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，，又，所以，由（2）知，，则，所以，.8．已知函数；(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若正数a使得对恒成立.求a的取值范围；(3)设函数，讨论其在定义域内的零点个数．【解】（1）当时，，则，所以函数在处的切线方程是：，即.（2）令函数，求导得，当时，，对恒成立，当时，由得：，即在上递增，则，因此对恒成立，当时，由得：，在上递减，则对，，因此对恒成立，不符合题意，所以的范围是.（3）依题意，，，求导得，当时，无零点；当时，则，即函数在上递减，因为，因此函数在上只有1个零点；当时，令，解得：，则当时，递增，当时，递减，于是，又，于是函数在上有唯一零点，在上只有1个零点，所以当时，函数无零点，当时，函数在上有1个零点.9．已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.【解】（1）因为，所以.所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，所以，解得..（2）f（x）的定义域为（0。