南京航空航天大学《高等数学》7.1空间直角坐标系.pdf

• 本章的地位: 学习多元函数微积分的基础.本章的地位: 学习多元函数微积分的基础.• 研究特点: 通过代数运算解决几何问题.研究特点: 通过代数运算解决几何问题.• 采用的方法: 坐标法和向量法.采用的方法: 坐标法和向量法.第一节空间直角坐标系第一节空间直角坐标系x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴• •定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向 符合三个坐标轴的正方向 符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴， 当右手的四个手指从正向轴， 当右手的四个手指从正向x轴以轴以2π π角度转向正向角度转向正向y轴 时，大拇指的指向 就是轴 时，大拇指的指向 就是z轴的正向轴的正向.一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标ⅦⅦxyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅣⅣⅤⅤⅥⅥⅧⅧ三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间空间的点空间的点有序数组有序数组),,(zyx⎯⎯⎯⎯ →→←←− −− − 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),,(zyxM• •xyzo)0 , 0 ,(xP)0 ,, 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,,(yxA),, 0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设M是空间的一点, 过点M做平行于坐标面的三个平面, 设M是空间的一点, 过点M做平行于坐标面的三个平面, 该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,z就是点M的坐标.该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,z就是点M的坐标.设设),,(1111zyxM、、),,(2222zyxM为空间两点为空间两点xyzo• •1MPNQR • •2M?21= == =MMd在直在直角角21NMMΔ Δ 及 直 角及 直 角PNM1Δ Δ 中中，，使用使用勾股勾股定定 理知理知,2 222 12NMPNPMd+ ++ += =二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离过点过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面分别作平行于坐标面的平面, 形成一个六面体形成一个六面体.,121xxPM− −= =∵,12yyPN− −= =,122zzNM− −= =2 222 1NMPNPMd++=++=∴∴( () )( () )( () ).2 122 122 1221zzyyxxMM−+−+−=−+−+−=空间两点间距离公式空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),,(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd = =.222zyx++=++=xyzo• •1MPNQR • •2M例 1 求证以例 1 求证以)1 , 3 , 4(1M、、)2 , 1 , 7(2M、、)3 , 2 , 5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解= =2 21MM,14)12()31()47(222= =− −+ +− −+ +− −= =2 32MM, 6)23()12()75(222= =− −+ +− −+ +− −= =2 13MM, 6)31()23()54(222= =− −+ +− −+ +− −32MM∴∴,13MM= =原结论成立原结论成立.例 2例 2 设设P在在x轴上，它到轴上，它到)3 , 2, 0(1P的距离为到点的距离为到点)1, 1 , 0(2− −P的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点P的坐标的坐标.解设解设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为P在在x轴上，轴上，= =1PP( () )22232++++x,112+=+=x= =2PP( () )22211+−++−+x, 22+=+=x= =1PP∵,22PP112+ +∴∴x222+ += =x, 1± ±= =⇒⇒ x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1(− −。