案例九马尔科夫预测.docx

案例九马尔科夫预测一、 市场占有率的预测重点例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供分别用1, 2, 3表示去年 12月份对2000名消费者进行调查购买厂家1,2和3产品的消费者分别为800， 600和600同时得到转移频率矩阵为：(320240240)N =36018060^ 36060180 /其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费 者继续购买厂家1的产品转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人N 的第二行与第三行的含义同第一行1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布po = （0.4,0.3,0.3）用800，600和600分别去除矩阵N的第一行、第二行和第三行的各元素， 得状态转移矩阵：‘0.40.30.3 )P =0.60.30.1^ 0.60.10.3 /于是，第k月的绝对分布，或第月的市场占有率为：Pk = po - P(k) = poPk (1,2,3, ,7)…‘0.4 0.3 0.3、k = 1 时，pl =(0.4 0.3 0.3)0.6 0.3 0.1 =(0.52 0.24 0.24)"0.6 0.1 0.3)k = 2时，p2 =(0.4 0.3 0.3)P2 =(0.52 0.24 0.24)P =(0.496 0.252 0.252)k = 3 时p3 =(0.4 0.3 0.3)P3 =(0.496 0.252 0.252)P =(0.5008 0.2496 0.2496)类似的可以计算出p4，p5，p6和p7。

现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2 和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.由于转移概率矩阵P是正规矩阵，因此P有唯一的均衡点r由本例可知，|i=（0.5 0.25 0.25）由定理可知，lim p 0 - Pk =r=（0.5 0.25 0.25），即随着k s时间的推移，三个厂家的市场占有率逐渐趋于稳定当市场达到均衡状态时，各 厂家的市场占有率分别为50%、25%和25%由表可以看出，第三个月时，市场已经基本达到均衡状态，此时，各厂家的市场 占有率与均衡状态时的市场占有率的误差已不足千分之一例2：飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由于产 品质量、价格、经营管理水平、服务态度、质量等因素影响，每月订户都有变化 根据8、9月份的变化，预测本年后三个月各厂家的用户占有率1）调查目前的用户占有及变动情况8月1日的订户到9月1日发生变化的情况表7.5 8、9月各厂订户厂家飞跃（1）金星（II）凯歌（III）英雄（IV）8月份订户5454954173829月1日失去订户655552549月1日保留订户4804403653289月1日订户保留88.1%88.9%87.5%85.9%率7.6 8、9月各厂订户的变动厂家1IIIIIV8月用户占 有数1480302015545II244401615495III182036514417IV1525143283829月用户占 有数53751541537218399月份四厂总用户为1839 ,各厂家的用户占有率分别为： 0.292,0.280,0.226,0.202①初始状态向量S（o）二（0.292 0.280 0.226 0.202）（2） 计算用户转移概率飞跃厂、金星厂同理可以计算得到凯歌厂。

将以上计算结果写成矩阵就是 8~9月的一步转移概率矩阵P（3） 预测若本年后三个月各月之间用户阵移概率不变，则可以采用（7.5 ）式的数学 模型预测10月各厂的用户占有率为S（i）=S（0）- P厂.881 0.055 0.037 0.027=（0.292 0.280 0.226 0.202） 0.049 0.889 0.032 0.0300.043 0.048 0.875 0.034I.一 0.039 0.065 0.037 0.859二 （0.289 0.289 0.225 0.197）11月各厂用户占有率为 S⑵=S（ 1）■ P,-0.881 0.055 0.037 0.02、 二(0.289 0.289 0.225 0.197) 0.049 0.889 0.0320.030^0.043 0.048 0.875 0.03^ 0.039 0.065 0.037 0.859二 (0.286 0.297 0.224 0.193)12 月各厂用户占有率为 S(3)=S⑵・ P=(0.286 0.297 0.224 0.193) - P二 (0.284 0.303 0.223 0.190)预测结果表明，如果各厂家占有用户的变化依上述规律进行，到该年底，原 来用户占有率比较接近的四个厂家将产生很大差异。

金星厂的用户占有率将明显 高于其他厂，由9月份的第二位跃进居第一位，而英雄厂则大大低于其他厂 马尔科夫稳态了解二、人力资源预测重点例：某高校为编制师资发展规划，需要预测未来教师队伍的结构现在对教师状 况进行如下分类：青年，中年，老年和流退(流失或退休)根据历史资料，各‘0.80.1500.05、类教师(按一年为一期)的转移概率矩阵为：P=000.7500.20.80.050.21 0001 /目前青年教师400人，中年教师360人，老年教师300人试分析3年后教师的 结构以及为保持编制不变，3年内应进多少硕士和博士毕业生充实教师队伍解：设目前的教师结构为〃400 360 300 0)，则一年后教师结构为： ni= n0 P =(320 330 312 98)，流退人员98人，为保持编制不变，第一年学校 需进98人，此时青年教师为320+98=418人教师结构为： ni=(4 1 8 3 3 0 3 )2 0*两年后教师结构为： n2 = ni - P =(418 330 312 0)P =(334 310 316 100)*第二年流退100人，因此第二年需进100名硕士和博士毕业生，此时青年教师为 334+100=434 人。

教师结构为n： =(434 310 316 0)三年后教师结构为： n3 = n2 - P =(434 310 316 0)P =(347 298 315 100) *第三年流退100人，因此第三年需进100名硕士和博士毕业生，此时青年教师为 347+100=447 人，教师结构为 n： =(447 298 315 0)综上所述，3年内需进硕士和博士毕业生298名三年后教师结构为：青年教师 447人，中年教师298名，老年教师315名三、项目选址问题例：某汽车修理公司在北京市有甲、乙、丙3个修理厂，由于公司注重对员工的 技术培训，树立顾客至上、信誉第一的理念，采用先进管理模式，所以公司在本 行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群对客户的调查显示，'0.8 0.2 0、客户在甲、乙、丙3个修理厂之间的转移概率为：P = 0.2 0 0.8"0.2 0.2 0.6)由于公司的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模试分析应选择那个维修厂‘0.68 0.32 0.32、解：由于P2 = 0.16 0.20 0.16的所有元素都大于0,所以P是正规矩阵 "0.16 0.48 0.52)因此P存在唯一的概率向量目=("七七)。

解线性方程组：］("T*t = 0［日+日+日=1'—0.2旦 + 0.2旦 + 0.2旦=0日 n 0.2L 一旦 +20.2 旦=0即 < 1 2 30.8旦—0.4旦=023旦+旦+旦=1得唯一解：R=［ 试分析两年后应收账款的分布情况 1 11"2 6 3 )由此可以看出，长期趋势表明，当公司的客户在3个维修厂之间的转移达到均衡 状态时，大约有50%的客户在甲厂维修，大约有16.67%的客户在乙厂维修，大约 有33.33%的客户在丙厂维修，因此应选甲厂进行项目投资四、最佳经营策略选择例：北京地区销售鲜牛奶是由3个厂家提供的，该地区客户总数为100万户，假 设厂家从每个客户那里每年平均获利50元厂家2的市场调查显示，状态转移 概率矩阵为：‘0.4 0.3 0.3、P = 0.6 0.3 0.1"0.6 0.3 0.1)均衡状态下市场占有率分别为50%，25%和25%,厂家2认为应采取积极的营销策 略，提高市场占有率，为此设计了两套方案方案一旨在吸引老客户方案一的实施需花费约450万元，实施方案后估计转移‘0.4 0.3 0.3、概率矩阵为：P = 0.3 0.7 01"0.6 0.1 0.3)方案二希望吸引厂家1和厂家3的客户，方案的实施需花费大约400万元。

实施‘0.3 0.5 0.2、方案后，估计转移概率矩阵为：P = 0.6 0.3 0.1试选择最佳方案 2"0.4 0.5 0.1)解：方案一，显然P「的所有元素都大于0，所以q为正规矩阵故q有唯一的固定点^ =(七,七,叩解线性方程组：]("T*「=0[^ +r +p = 1—0.6p + 0.3p + 0.6p — 0板 0.3/-0叩1 试分析应收账款的最终分布情况 0.早解：这是一个马尔科夫链问题状态空间为S = (1,2,3,4,5 )，其中状态4是 还清，状态5是呆账— 0即 { 1 2 30叩-0.7 ^ — 023^ + ^ + ^ — 1得唯一解 ^ =(0.39,0.44,0.17)因此，当市场达到均衡状态时，厂家2的市场占有率达到44%，比原来增加了 19 个百分点，由此带来的利润为：0.19x100x50 — 950 (万元)方案一成本为450万元，因而实际比原来多获利500万元方案二，类似地可得到P2的固定概率向量为r=(0.44,0.42,0.14)，即当市场达到 均衡状态时，厂家2的市场占有率为42%，比原来增加了 17个百分点，由此带 来的利润为：0.17x100x50 — 850 (万元)实施方案2的成本为400万元，因而实际比原来多获利450万元。

比较方案 一和方案二可知，实施方案一要比实施方案二多获利50万元因此应选择方案~0五、银行贷款回收问题X例：某商业银行在结算时发现，账目未结清的客户共有800户其中欠款时间为 -年的有400户，两年的为250户，三年的有150户银行规定，如果三年后仍 不还款，则将其列入呆账(指无法收回的应收账款)根据以往经验，还款情况 随时间转移的概率分布如表所示表 还款情况随时间转移的概率分布表123还清呆账100.300.60.12000.50.30.23。