线性代数第六章.ppt

线性代数答疑课 本章内容要点 重点难点解读 典型题第六章 二次型 本章内容要点二次型二次型化二次型为标准形化二次型为标准形正定二次型的判别正定二次型的判别1. 二次型的定义二次型的定义Ø n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式Ø n 元二次型的特点：① 含有 n 个变量； ② 是二次齐次多项式：只含有平方项 或交叉③ 相乘项 ，不含有一次项和常数项Ø 特殊的二次型—标准形（只有平方项，无交叉相乘项）2. 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示其中称矩阵 A 为二次型的矩阵， 为二次型的秩．3. 合同矩阵合同矩阵Ø 对 和 ，若可逆矩阵 使得则称 A 与 B 合同．Ø若 A 与 B 合同 由二次型写其矩阵的方法：由二次型写其矩阵的方法： 先写对角线先写对角线：平方项的系数写在对角线上； 再写其他再写其他：交叉相乘项的系数除以2，一对一对 地写．4. 化二次型为标准形化二次型为标准形即寻找可逆的线性变换 使得标准形标准形Ø 对二次型的矩阵—实对称矩阵 A寻找可逆矩阵 C , 使得Ø 由第五章内容知：实对称矩阵一定正交相似于对角阵即对实对称矩阵 A，其特征值为 ，则存在正交矩阵Q，使得5. 化二次型为标准形的方法化二次型为标准形的方法—正交变换法正交变换法作正交变换此时标准形的系数即为A的特征值6. 化二次型为标准形的规律化二次型为标准形的规律—惯性定理惯性定理Ø 对同一个二次型化为标准形时，用到的可逆的线性变换不唯一，得到标准形也不唯一．Ø 对同一个二次型化得的所有标准形，有以下规律：① 系数非零的平方项个数 = 二次型的秩;② 正项个数 p 固定，称为二次型的正惯性指数;③ 负项个数 r-p 固定，称为二次型的负惯性指数;7. 正定二次型正定二次型Ø 对 ， ，称 f 为正定二次型，A 为正定矩阵；Ø 对 ， ，称 f 为负定二次型，A 为负定矩阵； 正定矩阵是在二次型的基础上给出的，所以正定 矩阵一定是对称矩阵．8. 正定二次型的充要条件正定二次型的充要条件 n元实二次型 为正定二次型 f 的正惯性指数为n f 所有标准型的平方项系数都大于0 A 的特征值全为正（ A 实对称） A 的顺序主子式全为正（ A 实对称） （ A 实对称）9. 负定二次型的充要条件负定二次型的充要条件 n元实二次型 为负定二次型 f 的负惯性指数为n f 所有标准型的平方项系数都小于0 A 的特征值全为负（ A 实对称） A 的奇数阶顺序主子式全为正A 的偶数阶顺序主子式全为负 （A 实对称） 重点与难点解读Ø 正确的写出二次型的矩阵是处理二次型的基础，正确的写出二次型的矩阵是处理二次型的基础， 它可将二次型问题转化为对称矩阵的问题；它可将二次型问题转化为对称矩阵的问题；Ø 正定二次型和正定矩阵的判别正定二次型和正定矩阵的判别 ．．Ø 正交变换化二次型为标准形是非常重要的一类题，正交变换化二次型为标准形是非常重要的一类题， 因为用到的知识点非常多；因为用到的知识点非常多； 典型题目1. 写二次型的矩阵作业集P26，第1题例方法：方法：先写对角线先写对角线：平方项的系数写在对角线上； 再写其他再写其他：交叉相乘项的系数除以2，一对一 对地写．则则2. 正交变换化二次型为标准形作业集P32，第七题例已知二次型(1) 将 f 写成矩阵形式；(2) 用正交变换将 f 化为标准形，并写出所用的正交(3) 变换．解二次型的矩阵为下面求实对称矩阵 A 正交相似于对角阵① 先求 A 的特征值．所以A 的特征值为② 再求 A 的特征向量． 对 ，求解方程组这一步可以通过 来验证．所以　　　　 对应的特征向量为这可以代入原方程组验证由于 不正交，需要对它们正交化记这可通过正交的定义来验证 对 ，求解方程组所以　　 对应的特征向量为现在　　 已经正交，下面将它们单位化记可以求它们的模，看是否为1记则我们所求的正交变换为此正交变换将二次型化为这个标准形平方项的系数就是A的特征值，无需再 计算，但要注意顺序要和正交矩阵相对应．Ｑ的第一列所对应的特征值Ｑ的第二列所对应的特征值Ｑ的第三列所对应的特征值作业集P27，第6题解解3. 含参数二次型例例1 二次型在正交变换下的标准形，其平方项的系数即 为A的特征值已知二次型经正交变换化为标准形　　　　 ，试求参数 及所用的正交变换． 二次型的矩阵为由题目中标准形 知 A 的特征值为 由 得：因为 A 的特征值为0,1,2，所以0,1,2为上式的根，代入求得求解相应的方程组，可得 A 的特征值所对应的特征向量分别为它们已经两两正交，分别将它们单位化得因为Ａ实对称，所以Ａ的不相等的特征值对应的特征向量应该两两正交记则我们所求的正交变换为写正交变换时需要注意：因为标准形已给，即特征值 的顺序已定，要根据标准形平方项（即Ａ的特征值） 的顺序排列Ｑ．　的系数所对应的特征向量　的系数所对应的特征向量　的系数所对应的特征向量作业集P37，第1.6题例例2设二次型解解先写出二次型的矩阵的秩为2，则 t 应满足由前面复习知，由前面复习知，二次型的秩二次型的秩即为即为二次型的矩阵的秩二次型的矩阵的秩方法一因为所以所以方法二 因为 ，所以对 A 进行初等行变换求秩4. 判断二次型的正定性作业集P33，第1.6题例例解解方法：对于具体的二次型判断正定性，都是用顺序主子式的方法（而且这是一个充要条件）f 为正定二次型，则 A 为正定矩阵，其充要条件是 A的各阶顺序主子式都大于0设二次型 ，则 f 为正定二次型的充要条件是 t 满足先写出二次型的矩阵A 的各阶顺序主子式为或联立上述三式得交集所以 f 为正定二次型的充要条件是5. 正定矩阵的充要条件 n元实二次型 为正定二次型 f 的正惯性指数为n f 所有标准型的平方项系数都大于0 A 的特征值全为正（ A 实对称） A 的顺序主子式全为正（ A 实对称）。