【总结】勾股定理全章知识点总结大全.pdf
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名师总结优秀知识点勾股定理全章知识点总结大全一基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方即：a2+b2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C 为直角的直角三角形（若 c2a2+b2，则ABC是以C 为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b ，c满足222acb，那么以a，b ，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHSSS正方形正方形 ABCD，2214()2abbac，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc方法三：1() ()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证6：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等cbaHGFEDCBAabccbaEDCBAbacbaccabcab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2 ,1nn n（2,nn为正整数）；2221,22 ,221nnnnn（n为正整数）2222,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）二、规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c 有下列关系： a2+b2c2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.? 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例：勾股定理与勾股定理逆定理）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理及逆定理例 . 在ABC 中，90C已知6AC，8BC求 AB 的长已知17AB，15AC，求BC的长分析：练习： 1、如图所示，在四边形ABCD 中，BAD=90，DBC=90，AD=3 ，AB=4 ，BC=12 ，求 CD 。
2已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点CABD3、已知：如图，B=D=90 ， A=60， AB=4 ，CD=2 求：四边形ABCD 的面积例 2：已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边练习：在ABC中， AB=13 ，AC=15 ，高 AD=12 ，则 BC的长为多少？例 3：（1） . 已知ABC的三边a、b、c满足0)()(22cbba， 则ABC为三角形（2）. 在ABC中，若2a=（b+c）（b-c），则ABC是三角形，且90练习： 1、已知2512yxx与25102zz互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点图1CAB图2CAB图3CABDABC2、. 若ABC的三边a、b、c满足条件2acbacb26241033822，试判断ABC的形状。
3. 已知, 0)10(8262cba则以a、b、c为边的三角形是例 4：已知如图，在ABC中， C=60 ， AB=34，AC=4 ，AD是 BC边上的高，求BC的长如图，在 RtABC中， ACB=90 ， CD AB于 D，设 AB=c，AC=b ，BC=a ，CD=h 求证：（ 1）222111hba（2）hcba（3）以hchba，为三边的三角形是直角三角形经典图形突破：ACBD精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点图4CBA图5DACB. 如图， ABC中，AB=AC ，A=45o ， AC的垂直平分线分别交AB 、AC于 D、E，若CD=1 ，则 BD等于( )A1 B C D2. 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是 2+6，求这个三角形的面积3. ABC中， D是 AB的中点，若AC=12 ，BC=5 ，CD=6 5求证： ABC是直角三角形精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点4. 如图，在正方形ABCD 中，F 为 DC的中点， E为 BC上一点，且EC=14BC ，猜想 AF? 与 EF的位置关系，并说明理由5. 如图 Rt ABC ，90C3,4ACBC, 分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BAC6. 如图 2-10 ，ABC中， AB=AC=20 ，BC=32 ，D是 BC上一点，且AD AC ，求 BD的长7. 如图 2-9 ，ABC中，ACB=90 ，AC=BC ，P是ABC内一点，满足 PA=3 ， PB=1 ，?PC=2 ，求 BPC的度数8. 已知 ABC中， ACB=90 ， AC=3,BC=4,（1）AD平分 BAC,交 BC于 D点。
求 CD长精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点DCBAECBACABDBPAC（2）BE平分 ABC,交 AC于 E，求 CE长9. 如图，在四边形ABCD 中， A600，BD900，BC 2，CD 3，求 AB的长10. 如图， P为ABC边 BC上一点， PC 2PB ，已知 ABC 450， APC 600，求 ACB的度数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点GEDABC11、已知 ABC中， BAC 750， C600，BC 33，求 AB、AC的长12、如图， ABC中，AD是高， CE是中线， DC BE ，DG CE于 G 1）求证： G是 CE的中点；（2） B2BCE 3）若 AC=6,AB=8 ，求 DG的长精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点专题二勾股定理的证明1、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图从图中可以看到：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而c2化简后即为c22、如图，是2002 年 8 月北京第 24 届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52 和 4，则直角三角形的两条直角边的长分别为3、2002 年 8 月 2028 日在北京召开了第24 届国际数学家大会大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2 和 3），则大正方形的面积是4、如图，直线l上有三个正方形abc， ，若ac，的面积分别为5和 11，则b的面积为（）（） 4 （） 6 （） 16 （） 55 abca b c l 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点A B C 5、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法. 如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB C D的位置，连结CC，设,ABa BCb ACc，请利用四边形BCCD的面积证明勾股定理：222abc. 6、如图是 2002 年 8 月在北京召开的第24 届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形 ABCD 和 EF都是正方形 . 证： ABF DAE 7、（2010 年辽宁省丹东市）图是一个边长为()mn的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）A22()()4mnmnmnB222()()2mnmnmnC222()2mnmnmnD22()()mn mnmn专题三网格中的勾股定理1、如图 1，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD 、EF 、GH （B）AB 、EF、GH （C）AB 、CD 、GH （D）AB 、CD 、EF a DA BD CA A B C b c 第 4 题图A B C D E F G H mnmnmn图图第 7 题图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点CBAABC2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A 0 B 1 C 2 D 33、（2010 年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则 ABC的度数为（）A90B60C45。
