2022年数字谜之竖式谜.pdf

精心整理精心整理A12标准奥数教程数字谜之竖式谜【知识点与基本方法】跟横式数字谜一样也是一种猜数的游戏解竖式谜旧的根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数、数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确地推理、判断解答竖式数字谜是应注意的问题：（1）空格中只能填写0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且最高位不能为0；（2）进位要留意，不能漏掉（3）答案有时候不唯一（4）两数字相加，最大进位为1，三个数字相加最大进位为2，（5）两个数字相乘，最大进位为8 （6）相同的字母（汉字或符号）代表相同的数字，不同的字母（汉字或符号）代表不同的数字加(7)一个问题，读取整数型，并计算所有各位上数字的总和，直到该和降至一位数例如：数字是1256 sum=1+2+5+6=14; sum=1+4=5;【例题精讲】求 100999 一共 900 个三位数的各位数字之和也就是 2700 个数的和只需计算处各个数字出现的次数便可0 出现的次数这样算0 在个位上出现次数100990 共 90次0 在十位上出现次数a00a09，a 为 19，共 10*9=90 次即数字 0 共出现了 180 次而数字 19 出现的次数相同为（ 2700-180）/9=280 次所以所求数等于280*（1+2+ +9）=280*45=12600 【例题精讲】例 1.下面的算式中，只有5 个数字已写出，请补充其他的数字名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理6 7 +215分析：在 5个方格中，要个填写一个数字，是运算式成立，先填哪一个？那就要我们找问题的突破口了从百位来看，和的千位数字只能是1.从市委相加来看，进位到百位，也只能进 1，因此 2的百位是九，和的百位是0. 通过上面的分析就找到了问题的突破口了， 15-7-6=211-2-1=8 就得到算式的结果6 7 +215 例 3. 图中，有四个小纸片各盖住了一个数字，问：被盖住的四个数字综合是多少？ +149 分析：先看个位，因为两个数字相加，最大为9+9=18，所以两个数的和不能是19.从而两个被盖住的个位数字之和等于9. 由于个位数字相加不向十位进位，所以两个被盖住的十位数字的和14.因此被盖主的四个数字的总和是14+9=23 例 4. 在下面的方框中填上何时得数字 76 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理18310 分析：由于积的各位舒适0，乘数的个位数是5，由此我们可以得到被乘得数与5 相乘的 1880，被乘数的百位数字是3，最后因为被乘数是376，积是 310，所以乘数的十位数字是8 解：376 85 1880 3008 31860 例 5. 下面每个汉字个代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，问：这些汉字个代表什么数字？北京北京市+爱北京市1999 分析：首先，我们立即得到“爱”表示=1，所以百位数字相加不进位，“北”小于5. 又因为三个数字相加小于100+100+100=300 所以“北” +“北”大于 6，从而“北” =4，知道“爱”和“北”个代表什么数字问题就很好解决了解：爱 =1，北” =4“京” =7“市” =6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理例 6.在图 6-1 算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。

分析：首先根据十位上8+5 得到 4 可知，个位有一个进位，所以，个位的空格中必定是9；再根据百位上两个数相加，再加一个进位后得到 9，并有进位可知，百位两个空格中都是9；结果中的千位只能是1，于是得到：例 7.如图 6-2，用 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式现已写出3 个数字，那么这个算式的结果是多少？分析：首先，结果中的千位为1；第二，百位上第一个数至少是7，最多是 9；如为 7，那么，结果中的百位为0，并十位要有进位；由此第一个数的十位可以填6，第二个数的个位填9；如为 9，显然不行所以，结果只能是：【课后练习题】6.在如图 6-3 所示的算式中， 3 个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少？7.在图 6-6所示的算式中，每个方框代表一个数字问：这6 个方框中的数字的总和是多少？8.将 1 到 9这 9 个数码分别填入图6-8 的 9 个空格中，要求先填1，再在与 1 相邻 (即左、右或上、下)的格中填 2，再在与 2相邻的空格中填3，依次类推， ，最后填 9，使得加法算式成立二加法与减法中数字和的变化在数字和的问题上，有许多有趣的、富于思考的问题。

首先，计算两个数相加，数字和会怎样变化，我们分开不进位加和进位加这两种情况进行讨论先看546453 与 546435两题，这两题每题两个加数的各位上的数字的和是546453=546435=27，而 546453=999，加的过程没有进位，所得的和999 各位上的数字的和999=27；546435=981，两个加数的数字和是27，加的过程个位上满10向十位进 1，有一次进位，所得的和981 各位上的数字和981=18，比没有进位时，和的数字和少9；再计算 546534，两个加数各位上的数字的和也是27，546534=1080，加的过程中，个位和百位分别都满10，各向前一位进1，有两次进位，所得的和1080 各位上的数字的和 1080=9，比没有进位时少了18，即少了 2 个 9由此我们可以得到这样的规律：计算加法，没有进位时，加得的和的数字和等于加数的数字和；有进位时，每进位一次，加得的和的数字和就减少1个 9名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理同样，我们也可以归纳出减法中数字和的变化规律：计算减法，没有退位时，减得的差的数字和等于被减数的数字和减去减数的数字和的差；有退位时，每退位一次，减得的差的数字和就增加1 个 9。

下面，我们用上面的规律来解答几个问题例 1：有 A、B 两个整数， A 的各位数字的和是35，B 的各位数字的和是29，如果 A 和 B 相加时有三次进位，那么把AB所得的和的各位数字相加，和是多少？解：如果相加时没有进位，AB 所得的和的各位数字相加的和，等于A 和 B 两个加数数字和相加的和3529=64，相加时，每进位一次，得数的数字和减少1 个 9，现有三次进位，得数的数字和减少3 个 9，所以 AB 所得的和的各位数字相加，和是6427=37答： AB 的和的数字和是37例 2：整数 A 减整数 B 有两次退位，减得的差的数字和是13，已知 A 的各位数字的和是8，B 的各位数字和是多少？解： A 的各位数字的和是8，A 减 B 的差的数字和却是13，这有可能吗？如果连同退位使差的数字和增加这一因素考虑在内，这个结果是很正常的A 减 B 有两次退位，使减得的差比不退位时增加29=18，也可以看作是 13 由被减数 A 的数字和 8增加了 18减去 B 的数字和得到的所以B 的各位数字的和是81813=13答： B 的各位数字的和是13例 3：整数 A 的各位数字的和是24，整数 B 的各位数字的和是22，而 AB 的和的各位数字的和是10，在加的过程中有多少次进位？解：如果 AB 在计算中没有进位，所得的和的各位数字的和是2422=46，现在 AB 的和的各位数字的和是10，比不进位时减少了 4610=36，36里面包含 9 的个数是 369=4，所以加的过程中有4 次进位。

答：在加的过程中有4 次进位例 4：甲数和乙数的数字和都能被7 整除，甲数加乙数，得数的数字和是3，甲数减乙数，差最小是几？解：甲数和乙数的数字和都能被7 整除，相加时如果没有进位，所得的和的数字和也能被7 整除，现已知甲数加乙数得数的数字和是 3，不能被 7 整除，因此，甲数加乙数必定有若干次进位，3 至少加上 2 个 9，得到 329=21，能被 7 整除，而 21=714，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理即甲数和乙数的数字和一个是7， 一个是 14， 并且甲数加乙数有两位进位当甲数是61， 乙数是 59 时， 甲数减乙数的差为6159=2，这是最小的差答：差最小是2例 5：11000 这 1000 个自然数所有数字的和是多少？解：11000 这 1000 个自然数所有数字的和比11000 这 1000 个数的和小得多，这是因为把11000 这 1000 个数相加时，有多次进位，每进位1 次，比不进位时数字和都减少9，把加得的和按数字和计算的进位次数减去9 的个数，才得到所有数字的和，但这样计算太繁了。

为了简便地计算这1000 个数所有数字的和， 可以把这 1000 个数按以下的方法分组，使每一组相加时都不进位，然后算出每组和的数字和，再求出各组数字和的总和，就是1000 个数所有数字的和1234499 1000999998997996995500 1000999999999999999999各组数的和12727272727999各个和的数字和这样算得 1000 个数所有数字的和是127500=13501答：所有数字的和是13501例 6：两个四位数相加，第一个四位数的每个数字都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数字调换了位置某同学做出的答案是16246试问该同学的答数正确吗？如果正确，写出这两个四位数，如果不正确，请说明理由解：在对这一题思考时，如果试图按题中的条件找出四位数拼出加法算式，要找出很多的四位数，进行许多的尝试，而且不能进行严密的推理，因此这不是可取的方法比较好的做法是，先按规律说明是否可能按题目的条件做出这个答数，有可能时，才拼算式，如果不可能，这个答数就是错的由于第一个四位数的每个数字都不小于5，不管把这四个数字怎样调换组成第二个四位数，第二个四位数的每个数字也都不小于 5，两个数相加，四个数位上都要进位，共有四次进位，而两个四位数数字的和是第一个四位数数字和的2 倍，是偶数，四次进名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理位使和的数字和比原来八个数字的和减少4 个 9，所得的和的数字和仍然是偶数，而该同学的答数16246 的数字的和16246=19，是个奇数，所以这个答数是错的。

应用练习二1有 A、B 两个整数， A 的各位上的数字的和是31，B 的各位上的数字的和是19，A 和 B 相加，得数的各位上的数字的和是32，相加时有几次进位？2A 的各位上的数字的和是4，A 减去一个两位数，差的各位上的数字的和是24，减数最大是几？3甲数和乙数的数字和都是17的倍数，甲数减乙数，差的数字和是10，甲数最小是几？4甲数和乙数的和是753，两个数的数字和都。