高考数学总复习《利用导数研究函数的零点》专项测试卷及答案.docx

高考数学总复习《利用导数研究函数的零点》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________题型　函数零点个数的探究典例1已知函数f(x)＝a＋sin x的图象在点(0，f(0))处的切线与y轴垂直．　　　　　　　　　　即f′(0)＝0.(1)求实数a的值；(2)讨论f(x)在区间(－π，π)上的零点个数．分别讨论在区间(－π，0)，，的零点情况．解：(1)f(x)＝a＋sin x，则f′(x)＝a·＋cos x，由题意，得函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为0，即f′(0)＝a＋1＝0，得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－＋sin x，f(0)＝0，f′(x)＝＋cos x，则f″(x)＝－sin x.当x∈(－π，0)时，＞0，sin x＜0，此时f″(x)＞0，f′(x)单调递增，二阶导数的符号，说明一阶导数的单调性．f′(x)＜f′(0)＝－1＋1＝0，故函数f(x)单调递减，f(x)＞f(0)＝0，故函数f(x)在(－π，0)上无零点．前面一段，主要叙述f(x)在(－π，0)上无零点. 即x∈(－π，0)时，f(x)单调递减，f(x)＞0恒成立．当x∈(0，π)时，将f(x)变形得f(x)＝－＋sin x＝(exsin x－x)，设F(x)＝exsin x－x，则F′(x)＝ex(sin x＋cos x)－1，设k(x)＝ex(sin x＋cos x)－1，其实x∈时，ex＞1，sin x＋cos x＞1，故知k(x)＞0无零点．则k′(x)＝2excos x，易知当x∈ 时，k′(x)＞0，当x∈时，k′(x)＜0，故k(x)在上单调递增，在上单调递减，又k(0)＝0，k＝e－1＞0，k(π)＝－eπ－1＜0，故存在x0∈，使k(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，k(x)＞0，F(x)单调递增；当x∈(x0，π)时，k(x)＜0，F(x)单调递减，又F(0)＝0，故F(x0)＞0，又F(π)＝－π＜0，故函数f(x)在(0，x0)上没有零点，在(x0，π)上有1个零点．综上所述，f(x)在区间(－π，π)上的零点个数为2.确定函数零点个数的方法(1)数形结合法：构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 对点练1(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝tan x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，试判断F(x)在∪内的零点个数．解：(1)函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－tan x＝0，得xsin x－excos x＝0.设h(x)＝xsin x－excos x，所以h′(x)＝(ex＋1)sin x＋(x－ex)cos x.①当x∈时，可知ex＞0＞x，则ex＞x，所以x－ex＜0，又sin x＜0，cos x＞0，所以h′(x)＜0，从而h(x)＝xsin x－excos x在上单调递减，又h(0)＝－1，h＝＞0，由零点存在定理及h(x)的单调性，得h(x)在上有一个零点．②当x∈时，cos x≥sin x＞0，由(1)知函数f(x)＝在(0,1)上单调递减，所以x∈时，函数f(x)＝＞f(1)＝e＞1，则ex＞x＞0.所以excos x＞xsin x，则h(x)＝xsin x－excos x＜0恒成立．所以h(x)在上无零点．③当x∈时，sin x＞cos x＞0，h′(x)＝ex(sin x－cos x)＋(xcos x＋sin x)＞0，则h(x)在上单调递增．又h＝＞0，h＝·－·e＝＜0，由零点存在定理及h(x)的单调性，得h(x)在上存在一个零点．综上，h(x)在∪内的零点个数为2，即F(x)在∪内的零点个数为2.题型　已知函数零点个数求参数的取值范围典例2(2024·河北衡水中学月考)已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,1)上存在零点，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)＝ex－ax－1得f′(x)＝ex－a.含参单调区间的讨论．当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．当a＞0时，令f′(x)＜0，得x＜ln a；令f′(x)＞0，得x＞ln a.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.当a≤1时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递增且f′(x)＞0恒成立，从而f(x)单调递增．f(0)＝0，所以函数f(x)在区间(0,1)上不存在零点．当a≥e时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减且f′(x)＝ex－a＜0，从而f(x)单调递减．f(0)＝0，所以函数f(x)在区间(0,1)上不存在零点．当1＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，这里函数的极小值点ln a在区间(0,1)内，由单调性，主要关注右端f(1)＝e－a－1和0的大小比较了！又f(0)＝0，f(1)＝e－a－1，如图所示，当e－a－1≤0，即e－1≤a＜e时，函数f(x)在区间(0,1)上不存在零点；当e－a－1＞0，即1＜a＜e－1时，函数f(x)在区间(0,1)上存在零点．综上，实数a的取值范围为(1，e－1)．已知函数零点个数求参数的取值范围问题的解法对点练2(2024·湖北武汉月考)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a∈R)．(1)当a＝4时，求曲线y＝g(x)在x＝0处的切线方程；(2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g(0)＝－3，g′(x)＝(－x2＋2x＋1)ex，g′(0)＝1，所以所求的切线方程为y＋3＝x－0，即y＝x－3.(2)由g(x)＝2exf(x)，可得2xln x＝－x2＋ax－3，a＝x＋2ln x＋.设h(x)＝x＋2ln x＋(x＞0)，所以h′(x)＝1＋－＝，所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化如下：x1(1，e]h′(x)－0＋h(x)极小值(最小值)又h＝－2＋3e，h(1)＝4，h(e)＝e＋2＋，且h(e)－h＝－2e＋4＋＜0，所以实数a的取值范围为.第 4 页 共 4 页。