陕西省吴堡县吴堡中学高中数学第二章从力做的功到向量的数量积导学案北师大版必修.doc

从力做功到向量的数量积【学习目标】（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3） 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.【学习难点】运算律的理解【知识衔接】1.已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，-的坐标；2.已知(x, y)和实数λ, 求λ的坐标；3.已知，求的坐标；4.向量、共线的两种判定方法：∥()▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、▁▁▁▁▁学习过程】1.由力做的功：W = |F|•|s|cosq， q是F与s的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b = |a||b|cosq， 并规定0与任何向量的数量积为0×2.向量夹角的概念：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁范围0°≤q≤180°由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定 ②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

OaAcbab ③在实数中，若a¹0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a•b=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0.这就得性质2. ④已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是a•b = b•c Þ a = c 如右图：a•b = |a||b|cosb = |b||OA| / b•c = |b||c|cosa = |b||OA| Þa•b=b•c 但a ¹ c ⑤在实数中，有(a•b)c = a(b•c)，但是(a•b)c ¹ a(b•c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影 注意：①射影也是一个数量，不是向量 ②当q为锐角时射影为正值； 当q为钝角时射影为负值； 当q为直角时射影为0； 当q = 0°时射影为 |b|； 当q = 180°时射影为 -|b|.问题(2).如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质. 几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。

性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ①e•a = a•e =|a|cosq ②a^b Û a•b = 0 ③当a与b同向时，a•b = |a||b|；当a与b反向时，a•b = -|a||b| 特别的a•a = |a|2或强调：▏a+b▕=▁▁▁▁▁▁▁▁▁； ④cosq =（|a||b|≠0）⑤ |a×b|≤|a||b|4.向量数量积的运算满足：1.交换律：a•b = b•a2.数乘结合律：(a) •b =(a•b) = a• (b)3.分配律：(a + b) •c = a•c + b•c例1.已知：【巩固练习】3.判断下列各题正确与否： ①若a = 0，则对任一向量b，有a•b = 0. ( ) ②若a ¹ 0，则对任一非零向量b，有a•b ¹ 0. ( ) ③若a ¹ 0，a•b = 0，则b = 0. ( ) ④若a•b = 0，则a 、b至少有一个为零. ( ) ⑤ 若a ¹ 0，a•b = a•c，则b = c. ( ) ⑥若a•b = a•c，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立. ( ) ⑦对任意向量a、b、c，有(a•b) •c ¹ a• (b•c). ( ) ⑧对任意向量a，有a2 = |a|2. ( )【学习反思】【作业布置】 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！ 。