3-4解析函数的高阶导数PPT课件.ppt

第四节 解析函数的高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题第三章 复变函数的积分 2021/7/241一、问题的提出问题:(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1) 解析函数有各阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.2021/7/242二、主要定理定理3.9上述公式称为解析函数的高阶导数公式2021/7/2432021/7/2442021/7/2452021/7/246定理3.9的几点说明：1.解析函数存在任意阶导函数，并且导函数仍是解析函数2.定理3.9给出了高阶导数的积分表达式2021/7/2473.利用高阶导数公式即可以用求积分来代替求函数的高阶导数4.也可用求导数的方法来求某种类型的积分2021/7/248三、典型例题例1解2021/7/2492021/7/2410根据复合闭路定理2021/7/24112021/7/2412例2解2021/7/24132021/7/2414例3解由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得2021/7/24152021/7/2416课堂练习答案2021/7/2417例4解2021/7/2418根据复合闭路定理和高阶导数公式,2021/7/24192021/7/2420例52021/7/2421例62021/7/2422定理3.9在多连通区域内的推广：2021/7/24232021/7/2424从高阶导数公式我们还可以推导出柯西不等式：另外，从柯西不等式我们还可以得到如下的定理。

2021/7/2425刘维尔定理：2021/7/2426第三章 涉及的解析函数的性质如下：1.解析函数在单连通区域内沿着任意一条简单闭曲线的积分为零2.解析函数的变上限积分函数仍是解析函数.4.解析函数可用复积分表示3.解析函数在区域内点的取值可有函数在其边界上的取值通过积分来确定5.解析函数在解析区域内存在任意阶数的导函数，并且导函数仍为解析函数2021/7/2427学习要求： (1)掌握复积分概念、基本性质及基本计算法：参数方程法 (2)理解并牢记复积分三大定理：柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式及一个推论：闭路变型原理，它们构成了复变函数理论的基础 (3)熟练掌握运用上述定理求解闭合曲线上的复变函数积分的方法，这是本课程要介绍的计算复积分的第二种方法 2021/7/2428。