第四章 共轭空间黎永锦.docx

第4章共轭空间纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律, 这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙.A. Einstein （爱因斯坦） （1879-1955,美国物理学家）S. Banach在1929年引进了 Banach空间的共轴空间这一概念，这个思想H. Hahn在1927年也引进过，但S. Banach的工作更完全些，共轴空间就是已知赋范的空间X上的全体线性连续泛函所组成的线性空间X*,它在范数II f 11= sup I f （x） I下是Banach空间.II x || = 1对于具体的赋范线性空间，弄清这些赋范空间上的线性连续泛函的一般形式是非常有用的.另外，赋范空间X的性质与它的共轴空间X*的性质有着密切的联系,因此可以通过共轴空间X*的性质来研究赋范空间X的性质.4.1共轭空间由Hahn — Banach定理可知，对赋范线性空间X ,若X丰｛9 ｝，则X *丰｛9 ｝，另外，对于X气Xj,对任意 i=1任意赋范空间X, X的共轴空间X * 一定是完备的.1I2)2.定理4.1.1 f G (Rn )*当且仅当有(a1，…,a ) G Rn，使得f (x)=(X],…，x^) g Rn成立.且此时有II f II=(才I a ii=1证明若存在（气，…，气）G Rn，使得f (x) = Xa. x.,对任意 x = (x. ) G Rn 成立.i=1则f是Rn上的线性泛函，且I f (x)l=l 工以 x l<]E| x II以 Ii i i ii=1 i=1< 必 | 以 |2)；必 | X. |2)；i=1 i=1=(]EI a |2)2 • II x IIi=1因此f是Rn上的线性连续泛函，即f e (Rn )*.反之，若f为Rn上的线性连续泛函，则对。

0,…,0,1, 0,…,0) e Rn ,有if (x) = f (». e )=i=1巳 f (e )=乙 x.i=1 i=1这里a = f (e ),(a ) e Rn .i " i i设f 丰0,f(x)=£aii =1xi,对任意(x「e Rn成立,由可知I f (X) I< (£ I ai i=11I2)2 - II X IIII f II< (£ Ii=11a , |2)2，可知 x = (x ) e Rn，且II x II= 1.i取 x. = i '(U I a "ii=1因此1I a I2)2ii =1II f II> f (x) = Xa 2/(XI a I2)t = (Xii=1 i=1所以II f II= (XI a . |2)2i=1由上面定理可以看出(Rn )*与Rn是几乎一样,为了刻画这样的“一样”关系，下面引进保范同构的概念.定义4.1.1设X和Y都是赋范空间，若T是X到Y的线性算子,T是双射,并且对于任意x e X ,有II Tx II=II x皿则称T是X到Y的保范同构，亦称X与Y是保范同构的.明显地，若x与Y是保范同构的，则X和Y具有几乎一样的性质，因而可将与看成是一致的.由上面定理的证明可以看出，若定义(Kn)*到Kn的线性算子为Tf = (f (e1), f (e2),…，f (en))，则T是(Kn)*到Kn的保范同构，因此可以把上面定理写成(Rn)* = Rn的形式.定理4.1.2 f e c *当且仅当存在(a ) e l ,使得f (x) = fa x对所有x = (x ) e c成 0 i 1 i i "i =1立,且此时，有II f II=£I七Ii =1证明若f e c0,则对e =(°，…，1，0,…)e co,有f (x)= f (工xe)空 x f (e )对任意x = (x ) e c成立.i i i i i 0i =1 i =1令 a = (a ) = (f (e ))，则 f (x)=工a x，对任意 x = (x ) e c 成立.i i i i i 0i=1由 I f (x) 1<11 f II - II x II 可知，对于姬J,当i < N,以丰0时;i0, 当i < N吐以=。

时;i0, 当i> N时.有 II XN 11< 1,且f ( xN)= £ i 叩i=1ii =1因此,I f (XN) I 1, q > 1).对于X的共轭空间X*，同样可以考虑它的共轭空间(X*)*,称为X的二次共轭空间，记 为X**,由上面讨论可知C0* = l .对于1v p V8，有l** = l .赋范空间X的性质与它的共轭空间X*的性质有着密切的联系，如若X*是严格凸的，则 对于X的任一子空间M上线性连续泛函f，它在X上只有唯一的保范延拓.利用共轭空间X*的性质，还可以弄清原来的赋范线性空间的性质，如X的可分性等.定理4.1.5设X是赋范空间，若X*是可分的，则X也是可分的.g 证明由于X *是可分的，因此存在｛g「u X *，g〃。

0,使得区｝ = X *，令fn=n则｛f｝ n S (X *) = ｛f | || f ||= 1｝.n由 || f ||= 1 可知，对8 =L，存在x e X，|| x ||= 1，使得| f (x )|> 1 -s = 2.n 3 n n n n 3令M = ~span｛x^｝为｛xj生成的闭子空间，则M是可分的，且一定有X = M .事实上，如果XM，则由Hahn — Banach定理可知存在f e X*，|| f ||= 1，使得f (x) = 0，对任意x e肱成立.故|| f — f ||= sup | f (x) — f (x) |>| f (x ) — f (x ) |=| f (x )|= 2n n n n n n n 3|| x||=1但这与 f n S(X*)矛盾，从而X = M，所以X是可分的.n4.2自反Banach空间对于赋范空间X，可以讨论X的共轭空间X*和二次共轭空间X**,如c* = l , c** = l 0 1 0 3等，当然还可以讨论三次共轭空间X***和四次共轭空间X****等，赋范空间X的性质与它的二次共轭空间X **有着密切的联系.对于任意X e X，可以构造出X*的线性泛函如下：x**( f) = f (x),这里 f e X *.则由I X**( f )1=1 f (X) 1<11 f II - II X II可知X**为X*上的线性连续泛函，且II x** II