高等代数二次型.docx

高等代数二次型 ; 第五讲二次型一、二次型的概念及规范形 1、 二次型的概念及几种表述数域F上的n元二次齐次函数称为数域F上的n元二次型有下列几种表述方式： 〔1〕f(x1,x2,《,xn)《《《axxijii《1j《1nnj；222〔2〕f(x1,x2,《,xn)《a11x1《a22x2《《《annxn《2《axxijii《jj；T〔3〕f(x1,x2,《,xn)《XTAX，其中XT《(x1,x2,《,xn)，A《(aij)n《n，且A《A，并称A为二次型的矩阵 2、矩阵合同〔1〕 设A,B《Fn《n,假设存在可逆矩阵T《Fn《n，使B《TAT，那么称A与B是合同的T〔2〕 合同是矩阵间的一种等价关系〔3〕 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的3、 规范形222〔1〕 二次型f(x1,x2,《,xn)《d1x1称为规范形 《d2x2《《《dnxn〔2〕 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成规范形 〔3〕 任何对称矩阵都合同于一个对角阵4、 复数域上二次型的标准形222〔1〕 复二次型f(x1,x2,《,xn)《d1x1，其中di《1或0，称为复《d2x2《《《dnxn数域上的标准形。

〔2〕 任何复二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX都可以通过非退化线性替换化成标准22形f(x1,x2,《,xn)《y1《y2《《《yr2，其中r《秩A，且标准形是唯一的〔3〕 任何复对称矩阵A都合同于对角阵《《Er《00《《，其中r《秩A 0《〔4〕 两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等 5、 实数域上二次型的标准形〔1〕 实二次型f(x1,x2,《,xn)《d1x1《d2x2《《《dnxn，其中di《1,《1或0，称为实数域上的标准形〔2〕 任何实二次型f(x1,x2,《,xn)《XAX都可以通过非退化线性替换化成标准形f(x1,x2,《,xn)《y1《y2《《《yp《yp《1《《《yr，其中r《秩A，p是正惯性指数，且标准形是唯一的〔3〕 惯性定理 任何实二次型经过非退化线性替换化成的规范形中，正平方项的个数22222T222和负平方项的个数是唯一确定的，在实二次型的规范形f(1x,x,2《2,x《)《1yn1b22《b《《2yp22《by《c《1yp《p1《2《qpqcy(bi《0c,j《i0《,《1,p2j,《,《;q中，1,p称为正惯性指数，q称为负惯性指数，p《q称为符号差，且p《q《秩A。

二、 正交阵、实对称阵的正交化规范形1、 正交阵〔1〕A《Rn《n,假设ATA《E,那么称A为正交阵 〔2〕正交阵的等价定义有：A《(aij)n《n《Rn《n，A是正交阵《ai1aj1《ai2aj2《《《ainajn《《《1,i《j,；《0,i《j.A是正交阵《a1ia1j《a2ia2j《《《anianj《《A是正交阵《AT《A《1〔3〕A是正交阵，那么A《1或《1《1,i《j,；《0,i《j.〔4〕A是正交阵，那么A的特征值的模为1；如果正交阵A有实特征值，那么只能为《1《《1《《《1《《〔5〕正交矩阵A可以对角化，即存在复可逆矩阵T，使A《T《《T，其《《n《《《中《1,《,《n为A的全部特征根，且2、 施密特正交化办法：设《1,《2,《,《n(《Rn)线性无关， 〔1〕 正交化：令《1《《1，《i《1(i《1,《,n)《k《《k《(《k,《1)(《,《)《1《《《kk《1《k《1,(k《2,《,n)；(《1,《1)(《k《1,《k《1)〔2〕 单位化：令《k《1《k《k(k《1,2,《,n)；〔3〕 令A《(《1,《2,《,《n)，那么A为正交矩阵3、 实对称矩阵的规范形〔1〕 实对称矩阵的特征值均为实数；〔2〕 属于实对称矩阵A的不同特征值的特征向量必正交；《《1《《《T《1《〔3〕 AT《A(《Rn《n)，那么存在正交矩阵T，使得TAT《TAT《《 《。

《《n《《《〔4〕 任一实二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX，其中A《A《R22变换X《TY，使f(x1,x2,《,x)n《《y《《y《《yn1122《《2nTn《n，那么存在正交，《1,《2,《,《n是A的全部实特征值三、正定二次型 1、 正定二次型〔1〕 设实二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX，其中A《A《R是正定二次型的等价条件：对任意实向量CT《(c1,c2,《,cn)《0，都有f(x1,x2,《,xn)《CTAC《0；Tn《n，那么以下条件都《d1《《《T《存在实可逆阵T，使TAT《《《，其中di《0，(i《1,2,《,n)； 《dn《《《f的正惯性指数与秩都等于n； A的特征值全为正；A合同于E；A的一切主子式都大于0； A的一切顺序主子式都大于0〔2〕 当实二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX是正定二次型时，称A为正定阵，因此上面这此条件也是正定阵的等价条件2、 负定二次型〔1〕 设实二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX，其中A《A《R是负定二次型的等价条件：对任意实向量C《(c1,c2,《,cn)《0，都有f(x1,x2,《,xn)《CAC《0；TTTn《n，那么以下条件都《d1《《《T《存在实可逆阵T，使TAT《《《，其中di《0，(i《1,2,《,n)； 《dn《《《f的负惯性指数与秩都等于n；A的特征值全为负； A合同于《E；《f(x1,x2,《,xn)《XT(《A)X是正定二次型；A的一切奇数阶主子式都小于0，A的一切偶数阶主子式都大于0；A的一切奇数阶顺序主子式都小于0，A的一切偶数阶顺序主子式都大于0。

〔2〕 当实二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX是负定二次型时，称A为负定阵，因此上面这此条件也是负定阵的等价条件3、 半正定二次型〔1〕设实二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX，其中A《A《R都是半正定二次型的等价条件：对任意实向量CT《(c1,c2,《,cn)，都有f(x1,x2,《,xn)《CTAC《0；Tn《n，那么以下条件《d1《《《T《存在实可逆阵T，使TAT《《《，其中di《0，(i《1,2,《,n)； 《dn《《《f的正惯性指数与秩相等； A的特征值全非负；A的一切主子式都非负；存在实矩阵B，使得A《BB〔2〕 当实二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX是半正定二次型时，称A为半正定阵，因此上面这此条件也是半正定阵的等价条件4、半负定二次型，类似半正定二次型可以表述 5、不定二次型〔1〕 设实二次型f(x1,x2,《,xn)《XTAX，其中A《A《RTn《nT，假设存在两个实向量CT《(c1,c2,《,cn)和DT《(d1,d2,《,dn)，使得f(c1,c2,《,cn)《CTAC《0且f(d1,d2,《,dn)《DTAD《0那么称f(x1,x2,《,xn)为不定二次型。

〔2〕不定二次型的矩阵A的特征值必有正有负 。