专题3.11 函数的零点问题1．由零点求参数的值或取值范围的常用方法与策略：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；(3)分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；(4)分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围．2．判断零点个数的常用方法与策略：(1)直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；(2)利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；(3)图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；(4)利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数．【预测题1】（2023·河南郑州·统考二模）已知函数fx=lnx−2xlnax+aa>1．(1)当a=e2，求fx的单调区间；(2)若fx在0,+∞有三个零点，求实数a的取值范围．【预测题2】（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数fx=12ax2+lnx−a+1x.(1)当a=−4时，求fx的单调区间与极值；(2)当a≥1时，证明：fx只有一个零点.【预测题3】（2023·贵州·统考模拟预测）已知fx=a2x2−a+2x+2lnx.(1)讨论fx的单调性；(2)确定方程fx=a2x2的实根个数.【预测题4】（2023春·陕西咸阳·高一阶段练习）已知函数f(x)=ax2−ax+1．(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1,b)，求f(x)的零点；(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)−x>0．【预测题5】（2023春·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知函数fx=log33x+1.(1)若fx=log35x−4x+1，求x的值；(2)若函数F(x)=fx−x−log3a⋅3x−aa∈R有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.【预测题6】（2023·辽宁丹东·统考一模）已知函数fx=1−x1+x+alnx，a>13．(1)当a=38时，讨论fx的单调性；(2)若fx有三个不同的零点x1，x2，x3，求a的取值范围，并证明：30．(1)当k=1时，求曲线y=fx在x=1处的切线方程；(2)若方程fx=x+m有唯一的正根，求实数m的取值范围．【预测题12】（2023秋·重庆江北·高一校考期末）定义在R上的函数fx，对任意的x,y∈R，恒有fx+y=fx+fy，且x>0时，有fx>0(1)判断fx的奇偶性并证明；(2)若f1=32,gx=2x−1，函数f(gx)2−m+3gx−2m−3=0有三个不同的零点，求m的取值范围.【预测题13】（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数f(x)=lnx+1x．(1)求曲线y=f(x)在1,f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若方程f(x)=ax+2有解，求a的取值范围．【预测题14】（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）已知函数fx=log33x+1+mx是偶函数．(1)求m的值；(2)设函数gx=log3a⋅3x−12a+12x−fx（a∈R），若gx有唯一零点，求实数a的取值范围．【预测题15】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数f(x)=−1ax+1+x−1ax， 其中a为常数，且a>1.(1)若f(x)是奇函数， 求a的值；(2)证明：f(x)在(0,+∞)上有唯一的零点；(3)设f(x)在(0,+∞)上的零点为x0，证明：x0−1>loga2−1a.【预测题16】（2023春·河北保定·高一校考开学考试）已知函数flnx=2x2−ax+14a2−3．(1)设a=4．①判断fx在0,+∞上的单调性，并用定义证明；②判断fx在−1,0,0,1上是否存在零点．(2)当a>0时，讨论fx零点的个数．【预测题17】（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知函数fx=lnx+ax．(1)求函数fx的极值；(2)若a为整数，且函数gx=1+ae1−x−fx有4个零点，求a的最小值．【预测题18】（2023·天津河东·一模）已知函数f(x)=ax−4ax，g(x)=lnx2．(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)F(x)=g(x)−f(x)，00．（ⅰ）证明F(x)+F4x=0；（ⅱ）求函数F(x)在区间0,1a2上零点的个数证明．【预测题19】（2023·北京海淀·校考模拟预测）设函数f(x)=lnx−a(x−1)ex，其中a∈R．函数f′(x)是函数f(x)的导函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)证明：当00；(2)当a=1时，判断fx零点的个数并说明理由．【预测题21】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数fx=x−1x−alnx+2x−2x+1a∈R．(1)当a=2时，求函数fx在区间1,2上的值域；(2)若函数fx有三个零点x1,x2,x3 x10．(1)若fx的最小值为−e−1，求a的值；(2)若a=1，证明：函数fx存在两个零点x1，x2，且f′x1+f′x2<−2．【预测题26】（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知a>2，函数f(x)=x−a−(a−1)lnxa，x>0.(1)求函数fx的单调区间和极值；(2)设fx较小的零点为x1，证明：a−21在区间1e,e上恒成立，求a的取值范围；(3)若a>1e，判断函数g(x)=x[f(x)+a+1]的零点的个数．【预测题29】（2023·安徽合肥·校考一模）已知函数fx=axlnx和gx=bx−xb>0有相同的最小值．(1)求a+1b的最小值；(2)设ℎx=fx+gx，方程ℎx=m有两个不相等的实根x1，x2，求证：121x1x2．专题3.11 函数的零点问题1．由零点求参数的值或取值范围的常用方法与策略：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；(3)分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；(4)分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围．2．判断零点个数的常用方法与策略：(1)直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；(2)利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数。
