推理与证明总结课.docx

推理与证明考纲要求：1.合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法一一反证法；了解反证法的思考过程、特点3.数学归纳法：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、推理•1.归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理2）归纳推理的思维过程大致如图:实验、观察|概括、推广|猜测一般性结论2 ）归纳推理的特点：① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题•2.类比推理1 ）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。

2 ）类比推理的思维过程是：观察、比较”1联想、类推T推测新的结论•3.演绎推理1 ）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程2 ）主要形式是三段论式推理3 ）三段论式推理常用的格式为：M――P（M是P）①①是大前提，它提供了一个一般性的原理；特殊对象;S――P（S是P）③③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提已知的一般结论；⑵小前提所研究的特殊情况；⑶结论根据一般原理，对特殊情况得出的判断讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？归纳推理：由特殊到一般合情推理类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.二、证明• 1.直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性直接证明包括综合法和分析法综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“执果索因”要注意叙述的形式：要证A，只要证B,B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

• 2•间接证明：即反证法：是指从结论的否定出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法反证法的一般步骤是：反设一一推理一一矛盾一一原命题成立所谓矛盾是指：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；或与已知条件矛盾)常见的“结论词”与“反议词”如下表:原结论词否定原结论词否定至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n—1个p或q?p且？q至多有n个至少有n+1个p且q?p或？q典例精讲：观察下列等式：1323=32,132333=62,132333仁102,，根据上述规律，第五个等式为.1. 观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)二f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，贝Vg(-x)=()2. (A)f(x)(B)-f(x)(C)g(x)(D)-g(x)下列表述正确的是().①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤.4 .已知p是q的充分不必要条件，则-q是-p的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面「直线*=平面「直线b//平面〉，则直线b//直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A）假设三内角都不大于60度；（B）假设三内角都大于60度;（C）假设三内角至多有一个大于60度；（D）假设三内角至多有两个大于60度5. 观察下列等式：① cos2a=2cos2a-1；② cos4a=8cos4a-8cos2a+1；③ cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1;④ cos8a=128cos8a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1;⑤cos10a=mcos10a-1280cos8a+1120cos6a+ncos4a+pcos2a-1.可以推测，m-n+p=1-a8.利用数学归纳法证明9. 1+a+a2+…+an+1=1-a,(a工1,n€N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）a3(A)1(B)1+a(C)1+a+a2(D)1+a+a2+某个命题与正整数n有关，如果当n二k(k・N.)时命题成立，那么可推得当n=k1时命题也成立.现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立10. C.当n=8时该命题不成立D.当n=8时该命题成立用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)-(n+n)=2“1‘2厂‘(2n-1)”(n芒N+)时，从“n二k到n二k1”时，左边应增曾添的式」子是()2k12k2A.2k1b.2(2k1)C.k1D.k111.已知n为正偶数，用数学归纳法证明11111111-—2十_+■八十34n-1：2(——：——n2n4■:-■:-——)2n时，若已假设n=k(k_2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A.n=k1时等式成立B.n=k2时等式成立12. C.n=2—2时等式成立D.^2(k2)时等式成立求证：6+7>22+5.13. 设a、b、c都是正数，求证：a」，b』，c•丄至少有一个不小于2.14. bca已知数列｛an｝满足Sn+an=2n+1用数学归纳法证明所得⑴写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；（2）的结论.。