极限的计算---无穷小等价替换.docx

模块基本信息一级模块名称函数与极限二级模块名称计算模块三级模块名称极限的计算---无穷小等价替换模块编勺1-12先行知识1、无穷小量模块编勺1-102、等价无穷小的定义模块编勺1-11知识内容教学要求掌握程度1、常用等价无穷小；1、熟记几个常用的等价无穷小；月乂学握2、无穷小替换求极限的方法；2、理解等价替换原理；3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其 应用；能力目标培养学生灵活运用知识的能力时间分配30分钟编撰尧克刚校对熊文婷审核危子青修订熊文婷二审危子青一、 正文编写思路及特点：思、路：在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得顺序讲题例题和习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握 -型极限的求解方0法特庶(：通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力二、 授课部分1、预备知识(1) 无穷小的定义：在自变量的某种趋势下， 以零为极限的函数 (x)称为无穷小量，简称无穷小.(2) 等价无穷小的定义：若，是无穷小量且lim-=1,则称，是等价无穷小量，记作:2、常用等价无穷小：当(1)(2)arcsin x 〜x ;x；(4)arctanx 〜x ；(5)ln(1 x)〜x ；(3) tanx(6) ex 1(7)2… x cos x〜——2(8)(1 x) 1 〜x(9) ax- 1xln a注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小… ex 1引例 lim x 0 cosx 13、等价无穷小的替换定理定理 设~ , ~ 且lim 一存在，则lim证：lim 一 lim( ) lim ——lim ——limlim —.— lim 一.4、等价无穷小替换求极限的求解案例（一）直接替换求极限:（一级）2… 、 ex 1例 1. (1) lim ；x 0 cosx 1(2)xm0sin 2xx… …、 x2 1解： (1)原式=耽—— =-;2(2)当x 0 时,sin 2x ~ 2x.故原式 lim芝=2.x 0 x除运算，一般不能用【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、 在加、减法运算中.（二）四则运算变形后进行替换求极限:（二级）例2.tanx sin x求 lim 3 x 0 sin 2x0时，sin 2x ~ 2x, tan x sin xtan x(1cosx)1 3-x所以原式=lim（2一3 〔6tan5x cosx 1例3. 求lim 1 2 cos x — x2x 0 sin 3x角牟:tan 5x ~ 5x, sin 3x ~ 3x, 12原式= lim tan5x- 1- cosx=lim5x- 2 八=51 :x= lim -—— x? 0 sin 3x sin 3x x? 0 3x 3x 3（选讲）（三）其它情形进行替换求极限:解：当x 1时，t =x In x ? 0,x xln x则 x - 1= e1= et - 1 : t = xln x ,用等价无穷小替换得lim ==肺心=1. x?1 xln x — ,、 x - 1 例4. 求lim ? 1 xln x?1 xln x1 SIH 3x 例 5.求 lim" tan2x).解：因为当 x 0 时，tan 2x : 2x , sin 2x : 3x ,1 1 tan 2x所以 lim (1 tan2x)林 lim (1 tan2x)ta^ii^x 0 x o 1tan2x 1 sin3x 2 lim (1 tan2x)tan2x e3. x 0三、能力反馈部分1、(考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况)直接用等价替换:/八 tan x.ln(1 x)E。

^(1 cosx) arctan3x(2) lim x 0 (e 1)ln(1 2x)sin5x四则运算变换后进行替换ex cosx(3) lim 2 13sin x x cos-(4)既 一x)其它情况等价替换（选做）1(5) lim(cosx)ln(1 x) x 0(1 cosx)2x 1(6) lim 2 3—x 0 ln(1 2x3)。