电于磁的对偶性.docx

J临沂『课程研究报告/课程设」临沂大学YINYI UNIVERSITY课程研究报告（课程设计）电与磁的对偶性摘要：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产 生电场与电流产生磁场满足相同的规律，，电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁 流激发电磁场满足的方程互为对偶方程关键字：Maxwell,对偶性，磁荷，磁流，电荷，电流内容：、无源区的 Maxwell 方程组V-H 二0{V-E = 0以上两组方程形式完全相同，它们关于E和H (除有一负号外)是对称的，对其中一组作E T H, H T E, ETP，卩TE代换得到 一T { E T H, H T- E, } T { V-H= 0Vx H 二一卩——T £ T», »T£数学上称这种具有相同形式的两组方程为对偶方程 一二、有源区的 Maxwell 方程在有源区，由于在自然界还没有发现与电荷电流相对应的真实的磁荷、磁流，所以Maxwell方程是不对称的宏观电磁场运动中，Maxwell方程的两个独立方程台BVx E 二一——(2.1)8 DVx H 二 J + — (2.2)8t对于线性均匀各向同性戒指，其结构方程D = £E,B =卩H, J =oE，所以有8t—8 FVx H =oE + £- (2.4)8t{ Vx E =-卩竺(2.3) 一 一一 一〜 一对方程2.于两边求旋度，再利用2.4式和电场的高斯定理，得轄吩"(£)(2.5)同样对2.4两边取旋度，并利用磁场的高斯定理得V2 H -憾-2H = -Vx J(2.6)磁场的高斯定理表明，磁感应强度 B是一无散的矢量场，可用矢量位表示，设8 ^a 8 ^AB = Vx A(2.7)，将2.7带入2.1得Vx(E + ) = 0。

由此可见，(E + )是一无旋矢量8t 8t » »一 一 8 A 一 8 A 一场，可用标量位9的梯度表示E + =-V*，从而得E = - -Vp A和9也被称作8t 8t磁矢势和电标势尽管磁感应强度在形式上只与矢量位有关，但在时变情况下，时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系，这说明时变电磁场是相互激发的考虑到时变电磁场相互激发的对称性，如果引入假想的磁荷和磁流，其激发的电磁场与电荷和电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所得到的Maxwell方程就具有对偶性设假想的磁荷密度为P，磁流密度为J，并满足守恒定律，即， mm8V- J (rt) + —P (r,t)二 0 (2.8) 一m 8t m进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷激发电场一致，磁流在激发电场方面与电流激发磁场相一致根据这一假设，推广后Maxwell方程组和边界条件是VxE二-Jm8H2.9)8 E8t{e -(D -D)—Pn 2 1 ese x (E - E ) — -J—n 2 —1 mse - (B — B ) — pn 2 , 1 , ms7 x (H — ~H) — —Jn »2 » 1 es2.9称为广义Maxwell方程组。

将电场E (或磁场H )看成是由电源(p，J )产生的电场E (或磁场H )与电 e e e e磁源(p，)产生的电场E (或磁场H )之和 总场为E = E土E，H = H + H， m m m m e m e m则有V-E上e £「厂 QHVx~E =—» -e dt( 2.11a )V-H 二0ee - (D — D ) — pn e 2 e1 ese -(B —B )—0丿亠 _eL (2.11b)e x (E — E ) — 0n e 2 17 x(H —H)— jn e 2 el es ► ► ►V-E —0mQHVx E — — J 一卩 m m m QtP—mQt(2.12a)QEVx~H —£ - mm Qte -(D —D )—0n m 2 m1e -(B — B ) — pn m2 ml「 ms (2.12b)e x (E — E ) — — Jn m 2 1 mse x (h —h )—on m 2 1 »比较2.11和212两组方程:对方程 2.11 作 E T H ,H T —E , J T J , p Tp , 替换，得到方e m e m e m e m程 2.12 .反之，对方程 2.12 作 H ,J J J , p Jp ,£ 替e m e m e m e m换得到 2.11.类似的，对于矢量电位A有矢量磁位A ;对于标量电位P有标量磁位P，即对应于 mmH —丄 Vx Ae 4E — -V申—-A e -t有｛E —^Vx Am £ m-A:H = —Vmm m -t当电源量和磁源量同时存在时，总场量应为它们分别产生的场量之和- A 1E = —V申一——一一Vx A-t £ m-A 1 » 人H =—V申—m + Vx Am -t 4此外V分界面上，相应于,J — e x (H — H )s n 1 2 有p — e -(D — D )s n 1 2J =—e x(E — E )sm n 1 2p — e -(B — B )sm n 1 » 2 t根据对偶方程的解也具有对偶的性质得到如下结论：设空间存在如方程2.11 描述的电磁场问题，其解E , H 存在，且与E , H对偶，因此E , H 不必直接求解而可以m m e e m m通过对偶变换E H__，H 鈴—E亠J J , P㈠£吕卩,卩a £获得。

e m e me me m下面，通过利用电偶极子激发的场求磁偶极子激发的场和利用缝隙天线介绍磁荷和磁流等效方法两个实例证明上述结论的正确性1. 根据对偶原理，利用电偶极子激发的场求出磁偶极子激发的场在静电场中，位于坐标原点的电偶极子P = eql激发的静电场是 mz2 p cos 0 p sin 0E = e e + e lr 4兀£r3 0 4兀£r3 —' 一通过对偶变量替换,弟到磁偶极子p = e p激发的磁场为m z m2 p cos 0 p sin 0H = e m + e m 将其与小电流圆环激发的磁场进行比较，得到 r 4兀財3 0 4兀»r 3p = e 卩 I AsI l sin 0U / ―eo2九r.I l sin 0 -je—jkr牛 e—jkr0mz一 - r在谐变电磁场中，坐标原点z向电偶极子的辐射场为IE0 J 2 九通过对偶替换，得到置于坐标原点的z向磁偶极子的辐射场为{E{其与小电流环辐场公式I Ask 2 sin 0-0 e—jkr4兀 r其极化、结构、距离、方向性、相位等因子完全相同，仅幅度常数不同因此小电流圆环与磁偶极子具有完全相同的辐射场特性据此认为小电流圆环与磁偶极子等效。

2、通过缝隙天线的例子介绍磁荷和磁流的等效方法如图所示，作为模型，可将其视为在无穷大导体平板上切开一长L,宽d的缝隙L>>d,在缝隙两边加上时谐电压U =人"，略去边缘效应，缝隙上时谐电场E =叭叽并且满足Ed = U现在的问题是要求出导体平面上方，缝隙天线的辐射场显然上 0 0{ V-E 二0,Vx E 二-砂 H半空间辐射电磁场满足的 Maxwell 方程是： 0 y>0V-H 二0,Vx H 二 jg E0在边界上，除缝隙以外，电场切向分量为零，在缝隙处电场的切向分量近似为E0根据广义Maxwell方程组及其边界条件，缝隙处的电场可等效面磁流，故边界条件为：{ °」x |> -y，1 y |> 2e x E = 2 2n U d L—e 0 = — J ,1 x lv= ,1 y lv=z d ms 2 2由于缝隙很/小7可忽略边缘效应，缝隙口径上的面电流密度可视为均匀分布，求得等效面电流为：el = eJ d = —e xe E d = e Ul mo l m y x x z 0对应的磁偶极子是P三eI L三丁eQ L 一m z m 0 z 0为了求得导体平面上磁偶极子在上半空间的辐射场，先将磁偶极子沿导体平面法相向上平移h,如图所示，求出导体平面上半空间h处的磁偶极子的辐射场。

然后令hT 0得到所要求的解根据时变电磁场的镜像原理，导体平面感应面磁流在上半空间的辐 射场，为磁偶极子的像在上半空间的辐射场当hT0时，原像磁偶极子重合，其效果相当于原来磁偶极子的两倍直接应用式*，得到缝隙天线在上半空间的辐射场为L sin 0e -jkr九rL sin 0 £H 沁 jU - oe-jkr0 0九 r ■卩1 0参考书目：《电磁场理论》 柯亨玉，人民邮电出版社。