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双曲线教学讲义　1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)___的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点___，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距___.注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线___；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线___；(3)当a＞c时，集合P是__空集___.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点顶点顶点坐标：A1__(－a,0)___，A2__(a,0)___顶点坐标：A1__(0，－a)___，A2__(0，a)___渐近线y＝__±x___y＝__±x___离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的__实轴___，它的长|A1A2|＝__2a___；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴___，它的长|B1B2|＝__2b___；__a___叫做双曲线的__实半轴长___，b叫做双曲线的__虚半轴长___a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)　双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝.　)1．(2019·河北邢台模底)双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为(　A　)A．x±2y＝0　　 B．y±2x＝0C．x±4y＝0　　 D．y±4x＝0[解析]　依题意，题中的双曲线即－x2＝1，因此其渐近线方程是－x2＝0，即x±2y＝0，选A．2．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率(　B　)A．　　 B．2　　C．　　 D．3[解析]　设F1(－c,0)，F2(c,0)．由△PF1F2为正三角形，得2c＝.∴3c2＝4b2＝4(c2－a2)．∴c2＝4a2，e2＝4，e＝2.3．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　D　)A．2　　 B．　　C．　　 D．1[解析]　因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D．4．(2019·天津模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　A　)A．－y2＝1　　 B．x2－＝1C．－＝1　　 D．－＝1[解析]　由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.5．(2019·福州质检)设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(　D　)A．5　　 B．3　　C．7　　 D．3或7[解析]　∵||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3.6．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是__2___.[解析]　双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c,0)到这条渐近线的距离为＝c，∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝＝2.考点1　双曲线的定义——师生共研 例1　(1)(2019·西安模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为(　B　)A．　　 B．　　C．　　 D．(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为__9___.[解析]　(1)因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，故10a2＝4c2，即e＝＝.故选B．(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图像，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.名师点拨　☞应用双曲线的定义，可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而求出曲线方程；可在“焦点三角形”中，利用正弦定理、余弦定理，并结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用配方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．应用双曲线的定义时，若去掉绝对值，则点的轨迹是双曲线的一支．〔变式训练1〕(1)(2019·云南曲靖模拟)已知P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，若|＋|＝8，则点P到该双曲线左焦点的距离为(　D　)A．1　　 B．2　　C．16　　 D．18(2)(2019·哈尔滨质检)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　B　)A．48　　 B．24　　C．12　　 D．6[解析]　如图，取线段PF1的中点M，则|＋|＝|2|＝8，所以|PF2|＝8.由|PF1|－|PF2|＝10，得|PF1|＝18，故选D．(2)由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.考点2　求双曲线的方程——自主练透 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；(2)渐近线方程为y＝±x，焦距为10；(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．[解析]　(1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，将(2,2)代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12.∴所求双曲线方程为－＝1.(2)设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为－＝1，∴c＝.∴＝5，λ＝5；当λ<0时，双曲线标准方程为－＝1，∴c＝.∴＝5，λ＝－5.∴所求双曲线方程为－＝1或－＝1.(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1.(mn>0)∴解之得∴双曲线方程为－＝1.(4)依题意，e＝⇒a＝b.设方程为－＝1，则－＝1，解得m＝6.∴－＝1.[答案]　(1)－＝1　(2)－＝1或－＝1　(3)－＝1　(4)－＝1名师点拨　☞求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．考点3　双曲线的几何性质——多维探究角度1　双曲线的渐近线 例3　(1)(2019·山东青岛二模)直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(　A　)A．－＝1　　 B．－＝1C．－y2＝1　　 D．x2－＝1(2)(2018·课标Ⅱ卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　A　)A．y＝±x　　 B．y＝±xC．y＝±x　　 D．y＝±x[解析]　(1)根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1.(2)∵e＝，∴＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程y＝±x＝±x.故选A．角度2　双曲线的离心率 例4　(1)(2019·湖南模拟)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　D　)A．　　 B．　　C．　　 D．(2)(2019·广东江门模拟)F1，F2是双曲线C的焦点，过点F1且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于点A，B，且△F2AB为正三角形，则双曲线的离心率e＝(　B　)A．　　 B．　　C．2　　 D．[解析]　(1)由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝，选D．(2)由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1＝30°，∴|AF1|＝|AF2|.又|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝4a，|AF1|＝2a.又|F1F2|＝2c，在Rt△AF1F2中，|AF1|2＋|F1F2|2＝|AF2|2，得到4a2＋4c2＝16a2，∴＝3，∴e＝＝.故选B．名师点拨　☞与双曲线的几何性质有关的问题1．双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.2．求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·四川绵阳联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的方程为(　B　)A．－＝1　　 B．－＝1C．－＝1　　 D．－＝1(2)(角度2)(2019·广桂林模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是(　C　)A．(1，]　　 B．(1，]C．[，＋∞)　　 D．[，＋∞)[解析]　(1)由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的方程为－＝1.(2)由条件得|OP|2＝2ab.又∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.∴双曲线的离心率的取值范围是[，＋∞)．考点4　直线与双曲线的综合问题——师生共研 例5　(2019·承德模拟)已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值．[解析]　 (1)由|PM|－|PN|＝2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝.又焦距2c＝4，所以虚半轴长b＝＝.所以W的方程为－＝1(x≥)．(2。