第19讲椭圆中6种常考基础题型（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳汇总.docx

第19讲 椭圆中6种常考基础题型【考点分析】考点一：椭圆的通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．考点二：椭圆中有关三角形的周长问题 图一 图二如图一所示：的周长为如图一所示：的周长为考点三：椭圆上一点的有关最值①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．考点四：椭圆的离心率椭圆的离心率，考点五：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）考点六：中点弦问题（点差法）中点弦问题：若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，【题型目录】题型一：椭圆的定义有关题型题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的离心率题型四：椭圆中焦点三角形面积题型五：椭圆中中点弦问题题型六：椭圆中的最值问题【典型例题】题型一：椭圆的定义有关题型【例1】已知△ABC的周长为10，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵△ABC的周长为10，顶点，，∴，，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵，∴，又因为三点构成三角形， ∴椭圆的方程是.故选：A．【例2】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线【答案】B【解析】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，故选：B【例3】设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因，所以，所以【例4】、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】如图，直线与直线相交于点N，由于PM是的平分线，且PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，点M为中点，因为O为的中点，所以OM是三角形的中位线，所以，其中，因，所以，所以，所以选【例5】已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（ ）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点，所以，同理，所以【例6】方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程x2＋ky2＝2可变形为：，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：，解得.易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.故选B.【例7】点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由椭圆：，得：，当点在椭圆上时，周长最大，为，当点在轴上时，去最小值，为，又因点为椭圆内部的动点，所以周长的取值范围为.故选：C.【例8】椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ）A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍【答案】C【解析】由题意知：，所以，因，所以，所以【题型专练】1.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选B．2.焦点在x轴上的椭圆 焦距为8，两个焦点为，弦AB过点，则的周长为（ ）A．20 B．28 C． D．【答案】D【解析】由题意知 ，因为，所以，解得，所以的周长为，故选：D3.（2021新高考1卷） 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A. 13 B. 12 C. 9 D. 6【答案】C【解析】因，所以4.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．【详解】解：由题意，椭圆方程，可得，所以焦点，又由椭圆的定义，可得，因为，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故选:C．5.设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出，再由椭圆的定义得出，再求的值.【详解】由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将代入中，解得，即，，故故选：C6.已知曲线A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是椭圆，其焦点在轴上C．若，则是圆，其半径为D．若，，则是两条直线【答案】AD【解析】由题意得：，所以当，则，所以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当时，曲线为，所以表示圆，半径为，当时，曲线为，所以，所以表示两条直线，故选：AD7.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.【详解】在椭圆中，，，，设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，因为为的中点，则，则，所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.故选：C.8.在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（       ）A． B．2 C． D．4【答案】A【解析】【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，所以，，由正弦定理边角关系知：.故选：A9.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.【详解】在椭圆中，，，，设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，因为为的中点，则，则，所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.故选：C.11．已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为，因为的中点为，的中点为，所以，又由，可得.故选：B.12.已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（ ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】由椭圆知：a=3，由椭圆的定义得：，所以，又因为，所以，故选：A题型二：椭圆的标准方程【例1】已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由椭圆的几何性质可知上下顶点坐标，再由向量数量积可得，即可得到答案.【详解】根据题意可知，，；所以，，又，所以，可得在椭圆中，，又，所以即椭圆的标准方程为.故选：D.【例2】已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（    ）A． B．8 C． D．16【答案】B【分析】先根据的面积为，焦距为2，求得椭圆方程为，然后根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.【详解】因为的面积为，焦距为2，所以，所以，故椭圆方程为，假设为椭圆C的上顶点，因为两个焦点为，，所以，，故,所以为等边三角形，又因为过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，所以，,由椭圆的定义可知：，，所以的周长为，故选：.【例3】如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，因为，所以，所以，由椭圆的定义可得，则，又因为，所以，所以椭圆的方程为，故选：D【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用待定系数法求椭圆的标准方程.【详解】可设椭圆的方程为，由题意可得：，解得：，所以椭圆的方程为.故选：C【例5】过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，则有，两式相减得：，而，且，即有，又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，所以椭圆的方程为.故选：A【例6】已知分别是椭圆的左､右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于C，D两点，的周长为8，且直线，的斜率之积为，则椭圆的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由△的周长为8，可得，解得．设，，可得，由于直线，的斜率之积为，可得，代入化简可得．即可得出．【详解】解：△的周长为8，，解得．设，，则，直线，的斜率之积为，，，化为，可得．椭圆的标准方程为：．故选：C【例7】已知椭圆C的焦点为，，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知可设，则，得，在中求得，从而可求解．【详解】如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．所以，则.得，所以，又，得故C的方程。