无穷级数(幂级数).ppt

9.3.1 函数项级数的概念,9.3.2 幂级数及其收敛性,,9.3 幂级数,9.3.3 幂级数的性质,1.定义:,9.3.1、函数项级数的概念,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是收敛域),9.3.2、幂级数及其收敛性,1.定义:,任务：求幂级数的收敛域、和函数，并研究和函数的性质证明,2、阿贝尔定理,由(1)结论,,,,,,,,,,,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,3、幂级数的收敛半径及收敛区间,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,注：幂级数的收敛域要讨论端点的收敛性.,证明,4、 收敛半径的求法,法一：公式法,由比值审敛法,,定理证毕.,说明,(2) an不能等于零而是要用别的方法求R 不可说幂级数没有收敛半径（一定有）,例1 求下列幂级数的收敛域:,解,该级数收敛,该级数发散,级数收敛域为(-1,1].,发散,收敛,故收敛域为(0,1].,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,,法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）,级数发散,,级数发散,,级数发散,,原级数的收敛域为,9.3.3、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,(2) 乘法,(其中,柯西乘积,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),即有,从中可顺序求出,2.和函数的分析运算性质:,(收敛半径不变),(收敛半径不变),反复应用上述结论可得：,收敛半径为R ,,若幂级数,则它的和函数s(x) 在区间(-R,R) 内具有任意阶导数。

解,两边积分得,解,解,收敛区间(-1,1),,习题9.3,9.4 函数展开成幂级数,,9.4.1、泰勒级数,9.4.2、函数展开成幂级数,9.4.1、泰勒级数,1. 问题的引入,（1） 上一节主要讨论幂级数的收敛域及和函数反问题：给定一个函数f(x),能否找到一个幂级数，他在某区间上收敛，而其和函数恰是f(x).,若能找到这样的幂级数，则称函数f(x)在该区间上能展开成幂级数2）第三章第三节泰勒公式中我们知道：,如果函数f(x)在含有x0的某开区间(a ,b)内有直至(n+1)阶的导数，则对(a ,b)内任一点x，有,ξ是位于 x0、x之间的某个值误差为|Rn（x）| 如果函数f(x)在含有x0的某开区间(a,b)内各阶导数都存在，则Pn(x)的项可无限增加而得一幂级数：,幂级数（3）称为函数f(x)的泰勒级数问题：,1）此级数是否收敛？,2）若收敛，和函数是否为f(x)?,设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成幂级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn（x）当n时的极限为0，即:,证明：先证必要性设函数f(x)在U(x0)上能展开成泰勒级数，即,对一切x  U(x0)成立。

2. 定理,3）若f(x)能展开幂级数是否还有其它形式?,我们把f(x)的n阶泰勒公式（1）写成：,其中sn+1(x)是f(x)的泰勒级数（3）的前n+1项的和因为f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数（4），所以,再证充分性：,由f(x)的n阶泰勒公式 有：sn+1(x)= f(x) Rn（x）,即函数f(x)的泰勒级数在U(x0)收敛，且收敛于f(x)在（3）式中若取x0=0,得：,f(x)=sn+1(x)+ Rn（x）,3. 展开式的唯一性,级数（5）称为函数f(x)的麦克劳林级数泰勒系数是唯一的,,逐项求导任意次,得,泰勒系数,证明,1 直接法：具体步骤如下：,（i） 求f(x)的各阶导数ii） 求f(x)的各阶导数在x=0（x=x0)处的值iii） 写出f(x)所对应的幂级数，即麦克劳林（泰勒级数）：,并写出其收敛半径Riv）在（  R,R）内考察：,若为零，则在（  R,R）内有,9.4.2、函数展开成幂级数,得f(x)的麦克劳林级数：,它的收敛半径为R=+ ,对任何有限的x,ξ(ξ是位于 0、x之间的某个值得展开式：,得f(x)的麦克劳林级数：,它的收敛半径为R=+ ,对任何有限的x,ξ(ξ是位于 0、x之间的某个值）。

得展开式：,2 间接法： （理论依据：展开式的唯一性）,（i）利用一些已知函数的幂级数展开式ii）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）iii）变量代换上式对x求导（右端逐项求导）得,将上式从0到x逐项积分：,将上式从0到x逐项积分：,注：逐项积分逐项微分可能改变区间端点的收敛情况注 应熟记下列函数的幂级数展开式：,m为任意实数化为展开成y的幂级数习题9.4,1、 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法,2、会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数的麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数一、内容总结,典型例题,1 填空,绝对收敛,R = 4,绝对收敛,例2 求 下列幂级数的收敛域1） 解：,的收敛半径分别为R1=1； R2=1,又因为当|x|=1时该级数发散，所以R=1收敛域为 (－1，1)所以该幂级数的收敛半径R≥12）用根值,解: 因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,,,级数发散;,例3 求 幂级数的和函数解(1)：易知该幂级数的收敛域为(－1，1)设其和函数为s(x)，则,解(2)：,故该幂级数的收敛域为,解(4)：,易知幂级数的收敛域为（0，2）,令x-1=t,解(3)：易知该幂级数的收敛域为[－1，1]，设其和函数为s(x)，则,于是,解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其和函数为s (x)，则,例4 求数项级数的和。

解: 原式=,,,例5 将下列函数展成x的幂级数解 (1),级数的收敛域为[－2，2]x∈(－2，2),5. 设,,, 将 f (x)展开成,x 的幂级数 ,,的和.,解:,于是,并求级数,,。