1962年普通高等学校招生全国统一考数学试题含答案.pdf

1962 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1 某工厂第三年产量比第一年增长 21 问平均每年比上一年增 长百分之几 又第一年的产量是第三年的产量的百分之几 精确到 1 解 设平均每年增长 x 则得 10 211 1 2 xx 又 83 121 100 211 1 第二年产量 第一年产量 故该工厂平均每年比上一年增长 10 第一年的产量是第三年的产量 的 83 奎屯 王新敞 新疆 2 求 5 21 i 的实部 奎屯 王新敞 新疆 解 显然 5 21 i 的实部是由包含 i 的零次方及包含 i 的偶次方的各 项所组成 故所求之实部为 41 2 2 44 5 22 5 0 5 iCiCC 3 解方程 92lg 2lg2 3lg 5lg xxx 解 92lg 4 3 5 lg x xx 7 092 05 3 7 3 02110 92 4 3 5 2 x xxx xx xx x xx 原方程的解为故不是原方程的解 无意义使时当 4 求 5 4 arcsin2sin 的值 奎屯 王新敞 新疆 解 设 900 5 4 arcsin 则 5 3 5 4 1sin1cos 5 4 sin 22 25 24 5 3 5 4 2cossin22sin 5 4 arcsin2sin 5 求证 1 圆内接平行四边形就是矩形 2 圆外切平行四边形就是菱形 奎屯 王新敞 新疆 证 1 设ABCD为圆的内接平行四 边形 如图 由于两平行弦所夹的 弧相等 AD BC AB DC 奎屯 王新敞 新疆 又 2 AD AB 圆周 AD AB 半圆周 C 90 0 ABCD为矩形 奎屯 王新敞 新疆 2 设ABCD为圆外切平行四边形 如图 由于圆的外切四边形的每组对边的 和相等 AD BC AB DC 奎屯 王新敞 新疆 但AD BC AB DC 2AD 2AB AD AB 故ABCD为菱形 奎屯 王新敞 新疆 6 解方程组 axy yxy0124 2 并讨论a取哪些实数时 方程组 D C O A B D A O C B 1 有不同的两实数解 2 有相同的两实数解 3 没有实数解 奎屯 王新敞 新疆 解 由 得 ayx 将 代入 得 223 223 223 223 223 223 2 14 4366 0 14 6 012 4 2 2 1 1 2 2 ay aax ay aax aax a a y ayy yayy 即方程组的解为 讨论 1 当2 02 aa即时 方程组有不同的两实数解 2 当2 02 aa即时 方程组有相同的两实数解 3 当2 02 aa即时 方程组没有实数解 奎屯 王新敞 新疆 7 已知D为 ABC内的一点 AB AC 1 BAC 63 0 BAD 270 求DC 奎屯 王新敞 新疆 精确到小数点后两位 4540 027sin 解 ADB 180 0 330 270 1200 根据正弦定理 得 3 27sin2 120sin 27sin AB AD 又 CAD 63 0 330 300 由余弦定理可得 A 330 D 270 B C 61 036668 0 3668 04540 021 3 4540 0 4 2 3 3 27sin2 21 3 27sin4 30cos 2 2 222 DC ACADACADDC 8 已知ABCD A B C D 都是正方形 如图 而A B C D 分别把AB BC CD DA分为m n 设AB 1 奎屯 王新敞 新疆 1 求A B C D 的面积 2 求证A B C D 的面积不小 于 2 1 解 1 设AA mt A Bnt 又 1 1 nm tntmt 在直角 D AA 中 222 2222222 tnm tntmAAADAD 而正方形A B C D 的面积 2 22 2222 nm nm tnmAD 证 2 0 2 2 2 2 1 2 2 2 222 2 22 nm nm nm nmnm nm nm 2 1 2 22 nm nm 9 由正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线 垂足为E 证明A1E EC 1 2 奎屯 王新敞 新疆 证 设正方体的棱长为1 连接AC 则AC 2 D C C D B A A B 为直角 A1AC的斜边A1C上的 高 A1E A1C AA1 2 EC A1C AC 2 奎屯 王新敞 新疆 两式相除 得 2 1 2 1 2 2 2 11 AC AA EC EA A1E EC 1 2 10 求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内 奎屯 王新敞 新疆 证 第一种情形 四条直线 一点 这时 4321 llll没有三条直线过同 它们共有六个交点A B C D E F 它 于点A 可决们各不相同 奎屯 王新敞 新疆因直线 21 l l相交 定一平面 因点B C D E均在平面 内 所以直线 43 l l也在平面 内 故直线 4321 llll同在平面 内 奎屯 王新敞 新疆 第二种情形 四条直线 4321 llll中有三条 例如 321 lll过同一点A 奎屯 王新敞 新疆因直 线 4 l不过点A 故由点A及直线 4 l可决定一平面 奎屯 王新敞 新疆 因直线 4 l与直线 321 lll相交 设交点为B C D 则点B C D在直线 4 l上 从而在平面 内 因此 直线 321 lll各有两点在平面 内 即这三条直线在平面 内 故四直线 4321 llll在同一平内 奎屯 王新敞 新疆 D1 C1 A1 B1 E D C A B A 4 l F C E B D 1 l 2 l 3 l A B C D 4 l 1 l 2 l 3 l 。