线性代数43向量的内积和Schmidt正交化ppt课件.ppt

第三节第三节 向量的内积和向量的内积和SchmidtSchmidt正交化正交化一、内积的定义和性质一、内积的定义和性质一、内积的定义和性质一、内积的定义和性质二、向量的长度和性质二、向量的长度和性质二、向量的长度和性质二、向量的长度和性质三、正交向量组的概念和求法三、正交向量组的概念和求法三、正交向量组的概念和求法三、正交向量组的概念和求法四、正交矩阵和正交变换四、正交矩阵和正交变换四、正交矩阵和正交变换四、正交矩阵和正交变换五、小结五、小结五、小结五、小结 思考题思考题思考题思考题1.定义定义1 1内积内积一、内积的定义及性质2.说明说明　　　　　　1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．维向量直观的几何意义．3.内积的运算性质内积的运算性质4.定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质5.解解单位向量单位向量夹角夹角6.１１ 正交的概念正交的概念２２ 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法7.证明证明３３ 正交向量组的性质正交向量组的性质8.性质性质2 : 2 : 正交向量组单位化后仍是正交向量组正交向量组单位化后仍是正交向量组叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。

叫做标准正交向量组，或正交单位向量组是标准正交向量组，是标准正交向量组，那么那么9. 例如例如就是一个标准正交向量组就是一个标准正交向量组10.（（1〕正交化，取〕正交化，取 ，，4 4、、SchmidtSchmidt正交单位化方法正交单位化方法设设是线性无关向量组，构造新是线性无关向量组，构造新的向量组的向量组，使两个向量组等价，使两个向量组等价且且是正交向量组是正交向量组11.（（2〕单位化，取〕单位化，取标准正交向量组标准正交向量组12.例２例２ 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先正交化，先正交化， 取取施密特正交化过程施密特正交化过程13.再单位化，再单位化，得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下14.例３例３解解15.再把它们单位化，取再把它们单位化，取16.例４例４解解17.把基础解系正交化，即合所求．亦即取把基础解系正交化，即合所求．亦即取18.证明证明定义定义4 4定理定理四、正交矩阵与正交变换　　　　 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的行向量组的行向量组是标准正交向量组．是标准正交向量组．19.20.例５例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．判别下列矩阵是否为正交阵．定义定义5 5 假设假设 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换．交变换．21.解解所以它不是正交矩阵．所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于22.所以它是正交矩阵．所以它是正交矩阵．由于由于23.例６例６解解24.1 1．将一组线性无关向量规范正交化的方法：．将一组线性无关向量规范正交化的方法：　　 先用施密特正交化方法将向量组正交化，然先用施密特正交化方法将向量组正交化，然后再将其单位化．后再将其单位化．五、小结2 2．． 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：25.求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交．正交．思考题26.思考题解答27.。