带通采样定理的应用论文.docx

带通采样定理在信号与系统的实际问题解决中我们遇到的许多信号是带通信号，这种信号 的带宽往往远小于信号中心频率若带通信号的上截止频率为 f ，下截止频率为 f ，这时并不需要抽样频率 高于两倍上截止频率 f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率带通抽样定理：一个频带限制在(f ,f )内的时间连续信号x(t)，信号带宽LHB = f - f，令M = f / B - N，这里n为不大于fH / B的最大正整数如果抽样频率fs满足条件 H H-2fH < f < ，0 < m < N -1 (3.1—9)m +1 s m则可以由抽样序列无失真的重建原始信号 x(t)对信号x(t)以频率f抽样后，得到的采样信号x(nT )的频谱是x(t)的频谱经 ss 过周期延拓而成，延拓周期为 f ，如图 3—3 所示为了能够由抽样序列无失真 s的重建原始信号x(t)，必须选择合适的延拓周期(也就是选择采样频率)，使得 位于(fL, fH)和(-f，-f )的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通 滤波器就可以由采样序列重建原始信号由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑(f厶,f^)的频带分量不会出现混叠 的条件。

在抽样信号的频谱中，在 (f ,f )频带的两边，有着两个延拓频谱分量：(-f + mf，-f + mf )和(-f + (m +1)f，-f + (m +1)f )为 了避免混叠，延拓H s L s H s L s后的频带分量应满足-f + mf < f (3.1—10)L s L-f + (m +1)f > f (3.1—11)H s H综合式(3.1—10)和式(3.1—11)并整理得到< f < 乞 (3.1—12)m +1 s m这里m是大于等于零的一个正数如果m取零，则上述条件化为f >2f (3.1—13)sH这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样m取得越大，则符合式(3.1—12)的采样频率会越低但是m有一个上限， 因为f < ，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即f > 2 Bs m s因此m < 筈 < 土 = f (3.1—14)f 2 B Bs由于N为不大于fH /B的最大正整数，因此不大于fl /B的最大正整数为N -1， 故有 0 < m < N -1 综上所述，要无失真的恢复原始信号x(t)，采样频率f应满足s< f < 2fL， 0 < m < N-1 (3.1—15)m +1 s m-fH - fLLH图带通抽样定理在多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的 应用。

作为一个特例，我们考虑fH = NB （ N > 1 ）的情况，即上截止频率为带宽的 整数倍若按低通抽样定理，贝则要求抽样频率f > 2NB，抽样后信号各段频谱间 不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号根据带通抽 样，若将抽样频率取为f = 2 B（ m值取为N - 1），抽样后信号各段频谱之间仍 s不会发生混叠采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远 低于低通抽样定理f = 2NB的要求图3-4所示为f = 3B，f = 2B时抽样信 s H s号的频谱在这里，我还想讨论使用带通采样定理需要注意的问题3B -2B 0 2B 3B-B 0 4B 5BX(f+f丿-B 0 B图3-2叶3B，厶=2B时的抽样频谱在带通抽样定理中，由于0 < M < 1，带通抽样信号的抽样频率在2B到4B之 间变化，如图3-5所示图3-3 带通抽样定理在抽样时把信号当作低通信号处带通信号的带宽B大于信号的最低频率fL时,由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单通常，当 理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理模拟 信号经限带后的频率范围为300Hz〜3400Hz，在抽样时按低通抽样定理，抽样频 率至少为6800Hz。

由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的 限带滤波器不能对3400Hz以上频率分量完全予以抑制，在恢复信号时也不可能 使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为8kHz这样，在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠，又放松了对低 通滤波器的要求这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是 很常见的在这里，我还想说明当我们应有采样定理时需要注意的问题疑惑一：“完 全恢复”原始信号f (t)的特征包括幅度，相位和频率信号采样后其频 谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率fs,重复出现一次对信号的频谱作逆 傅立叶变换时，可以变换为原时域采样信号，而不能保证此时的采样信号能真实 地反映原信号幅度 和相位同时满足信号三个特征 幅度 、相位和频率叫做无 失真这和采样定理是不同的应用工程应用中取采样频率为(5-8)fo,可以满 足一般无失真的要求释疑二：“2 倍重复频率”两倍是必要条件，不是充分条 件采样定理只是规定了避免频率混叠的充分必要条件，注意，仅仅是混叠这一 个方面，采样定理并没说要按照2倍频率采样拓展：混迭(Aliasing): 为了避免这种情况的发生，通常在信号被采集(A/D)之前，经过一个低通滤波器, 将信号中高于奈奎斯特频率的信号成分滤去。

在图3的例子中，这个滤波器的截 止频率自然是25HZ这个滤波器称为抗混叠滤波器其实我们可以接着这个话题继续说下去，既然采样频率大可以获得良好的波 形，那么是不是采样频率越大越好呢？显然不是，在数字示波器中，当采样频率 较大时，波形的谱线范围也变宽了，且频率分辨率也增大了，因为频率分辨率满 足：Af二fs/N, —味的增大采样频率是不会获得好的频率分辨率的，要获得好的 频率分辨率，相应的要增大采样点数No应用实例一：带通采样与压缩感知——论正交匹配追踪算法的压缩传感 压缩感知是新兴的采样理论通过开发信号的稀疏特性，在远小于 Nyquist 采 样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美 的重建信号压缩感知理论的核心思想主要包括两点第一个是信号的稀疏结构 传统的 Shannon 信号表示方法只开发利用了最少的被采样信号的先验信息，即信 号的带宽但是，现实生活中很多广受关注的信号本身具有一些结构特点相对 于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一部分自由度所决定换 句话说，在很少的信息损失情况下，这种信号可以用很少的数字编码表示所以， 在这种意义上，这种信号是稀疏信号(或者近似稀疏信号、可压缩信号)。

另外 一点是不相关特性稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方 法将信号压缩成较小的样本数据来完成理论证明压缩感知的采样方法只是一个 简单的将信号与一组确定的波形进行相关的操作这些波形要求是与信号所在的 稀疏空间不相关的压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息它直接从连续时间信号变 换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本这里恢复 信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题而我们将要讨 论的正交匹配追踪就是一种快速算法算法简介：正交匹配追踪是对于0-范数的优化问题，实际上是NP问题，就 是在多项式时间内难以求解，甚至无法验证解的可靠性于是，我们必须将 0- 范数换一下，变成 1-范数，在 0 点处不可导，因此无论是梯度算法，矩阵求导 等等手段都变得相形见绌1-范数是一个菱形，四个角都在坐标轴上，因此它和 直线的交点以压倒性的概率落在坐标轴上这就是我们使用这种范数的原因最 后，让我们总结一下，压缩传感理论的关键字：稀疏( Sparsity)、不相关(Incoherenee)、随机性(Randomness)、非自适应(Non-Adaptivity)、非线性 (Non-Linearity)、不可微(Indifferentiability)。

从这些词语可以看出，压 缩传感理论是对传统理论的颠覆这种颠覆最令人振奋的表现，就是它突破了香 农采样定理的极限，能以随机采样的方式用更少的数据采样点(平均采样间隔低 于采样定理的极限)，来完美地恢复原始信号科学也就是在对传统理论不断地 颠覆和修正中才得以进步和发展在这种基础下，我们可以利用正交匹配追踪进行一个简单的实验，代码如下： (MATLAB 执行文件位于打包文件夹中，执行后可看到下图波形)% 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)%测量数M〉=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度，可以近乎完全重构% 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert% Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching% Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,% DECEMBER 2007.clc;clear%% 1.时域测试信号生成K=7; %稀疏度(做FFT可以看出来)N=256; % 信号长度M=64;%测量数（M〉=K*log（N/K），至少40,但有出错的概率）f1=50;%信号频率1f2=100;%信号频率2f3=200;%信号频率3f4=400;%信号频率4fs=800;%采样频率ts=1/fs;%采样间隔Ts=1:N;%采样序列x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号%% 2. 时域信号压缩传感 Phi=randn（M,N）; % 测量矩阵（高斯分布白噪声） s=Phi*x.'; % 获得线性测量%% 3.正交匹配追踪法重构信号（本质上是L_1范数最优化问题）m=2*K;Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N);T=Phi*Psi';hat_y=zeros(1,N);Aug_t=[];r_n=s;%算法迭代次数（m〉=K）% 傅里叶正变换矩阵% 恢复矩阵（测量矩阵*正交反变换矩阵）% 待重构的谱域（变换域）向量% 增量矩阵（初始值为空矩阵）% 残差值for times=1:m;for col=1:N;%迭代次数（有噪声的情况下,该迭代次数为K）% 恢复矩阵的所有列向量product（col）=abs（T（:,col）'*r_n）;% 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数（内积值）end[val,pos]=max（product）; % 最大投影系数对应的位置 Aug_t=[Aug_t,T（:,pos）]; % 矩阵扩充 T（:,pos）=zeros（M,1）;% 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零 aug y=（Aug t，*Aug t）“（_1）*Aug t，*s;%r_n=s-Aug_t*aug_y; %pos_array(times)=pos; %endhat_y(pos_array)=aug_y; %hat_x=real(Psi，*hat_y.，); %最小二乘,使残差最小残差 纪录最大投影系数的位置重构的谱域向量做逆傅里叶变换重。