运筹学基础及应用第2章线性规划的对偶问题胡运权版ppt课件.ppt

运筹学基础及应用运筹学基础及应用Operations   Research运运 筹筹 帷帷 幄幄 之之 中中决决 胜胜 千千 里里 之之 外外线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题Duality  Theory第二章1对偶问题的提出对偶问题的提出2原问题与对偶问题原问题与对偶问题3对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质4影子价格影子价格5对偶单纯性法对偶单纯性法6灵敏度分灵敏度分析目目录CONTENTS设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：产品数据表产品数据表                      设备设备产品产品ABCD产品利润产品利润（元／件）（元／件） 甲甲 21402乙乙 22043设备可利用设备可利用机时数（时）机时数（时） 1281612问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？获得最大利润？1.对偶问题的提出对偶问题的提出解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为： 反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定价才是最佳决策？1.对偶问题的提出对偶问题的提出在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： （1）不吃亏原则。

即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件 （2）竞争性原则即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户设设A、、B、、C、、D设备的机时价分别为设备的机时价分别为y1、、y2、、y3、、y4，，则新的线性规划数学模型为：则新的线性规划数学模型为：1.对偶问题的提出对偶问题的提出把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发现一个有趣的现象原问题与对偶问题对比表问题与对偶问题对比表A（（y1）） B（（y2））C（（y3）） D（（y4）） 甲（甲（x1）） 21402乙（乙（x2）） 220431281612 minωω max z    对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一每一个线性规划（对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一每一个线性规划（ LP ）必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求）必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的的LP都有一个求都有一个求 minZ 的的LP其中的一个问题叫其中的一个问题叫“原问题原问题”，记为，记为“P”，另一，另一个称为个称为“对偶问题对偶问题”，记为，记为“D”。

1.对偶问题的提出对偶问题的提出2. 原问题与对偶问题的对应关系原问题与对偶问题的对应关系原问题-P对偶问题-D2.原问题与对偶问题原问题与对偶问题23x1 x2 原问题原问题12y1 22≤128y2 12≤816y340≤1612y404≤12对偶问题对偶问题232.原问题与对偶问题原问题与对偶问题n（（1）对称形式）对称形式特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变号，变量非负量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非号，变量非负负.原问题原问题对偶问题对偶问题目标函数目标函数maxmin约束条件约束条件≤≤≥≥变量数量变量数量约束条件个数约束条件个数约束条件个数约束条件个数变量数量变量数量2.原问题与对偶问题原问题与对偶问题例2.1  写出线性规划问题的对偶问题解：首先将原问题变形为对称形式 注意：以后不强调等式注意：以后不强调等式右段项右段项 b b≥0≥0，原因在对偶，原因在对偶单纯型表中只保证单纯型表中只保证 而不保证而不保证 ，故，故 b b可以是负数。

可以是负数2.原问题与对偶问题原问题与对偶问题2.原问题与对偶问题原问题与对偶问题(2) 非对称型对偶问题若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题也可直接按教材表再写对偶问题也可直接按教材表2-2中的对应关系写出非对中的对应关系写出非对称形式的对偶问题称形式的对偶问题2.原问题与对偶问题原问题与对偶问题原问题原问题（或对偶问题）（或对偶问题）对偶问题对偶问题（或原问题）（或原问题）目标函数目标函数 max目标函数目标函数 min约约束束条条件件m个个m个个变变量量≤≤≥0≥0≥≥≤0≤0= =无约束无约束变变量量n个个n个个约约束束条条件件≥0≥0≥≥≤0≤0≤≤无约束无约束= =b b约束条件右端项约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数C C目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项约束条件右端项2.原问题与对偶问题原问题与对偶问题例2.3  写出下列线性规划问题的对偶问题.解：原问题的对偶问题为2.原问题与对偶问题原问题与对偶问题n例2.42.原问题与对偶问题原问题与对偶问题2.原问题与对偶问题原问题与对偶问题性质性质1 1 对称性定理对称性定理：对偶问题的对偶是原问题：对偶问题的对偶是原问题min Z’= - CXs.t. - AX≤- bX ≥0对偶的定义对偶的定义对偶的定义对偶的定义max W’ = -Ybs.t. YA≥ C Y ≤ 03.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 和 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。

推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立这也是对偶问题的无界性无界性）3.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质无界（原）无可行解（对）关于无界性有如下结论：问题无界无可行解无可行解问题无界对偶问题原问题例2.53.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数值无界试估计它们目标函数的界，并验证弱对偶性原理P）例2.63.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质解：（D） 由观察可知：由观察可知：       =（（1.1.1.1），），     =（（1.1），分别），分别是（是（P）和（）和（D）的可行解的可行解Z=10 ，，W=40，故有，故有                   ，弱对偶定理成立由推论，弱对偶定理成立由推论⑴⑴可知，可知，W 的最的最小值不能小于小值不能小于10，，Z 的最大值不能超过的最大值不能超过40＜3.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质性质3 最优性定理：如果 是原问题的可行解， 是其对偶问题的可行解，并且:则 是原问题的最优解， 是其对偶问题的最优解。

例如:在一对对偶问题（P）和（D）中，可找到 X*=（0.0.4.4）， Y*=（1.2，0.2）,且Z=W28 ，则X*，Y*分别是 P和D 的最优解3.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质性质4  强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解性质性质5 5 互补松弛性互补松弛性：：设设X0和和Y0分别是分别是P问题问题 和和 D问题问题 的可的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：行解，则它们分别是最优解的充要条件是：其中：其中：Xs、、Ys为松弛变量为松弛变量3.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质性质性质5的应用：的应用：该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知的方法，即已知Y＊＊求求X＊＊或已知或已知X＊＊求求Y＊＊互补松弛条件由于松弛变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为由于松弛变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系：零，因而有下列关系：若若Y＊＊≠0，则，则Xs必为必为0；若；若X＊＊≠0，则，则Ys必为必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。

方程组的解即为最优解3.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质例2.7  已知线性规划的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊解：写出原问题的对偶问题，即标准化3.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质设对偶问题最优解为Y＊＝(y1，y2),由互补松弛性定理可知，X＊和 Y＊满足：即：因为X1=6≠0，X2=2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：Y＊=(1,1)，最优值w=263.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质例2.8  已知线性规划 的对偶问题的最优解为Y＊=(0,-2)，求原问题的最优解解: 对偶问题是标准化3.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质设对偶问题最优解为X＊＝(x1，x2 ，x3)T ,由互补松弛性定理可知，X＊和 Y＊满足：将Y＊ =(0,-2)带入由方程可知，y3＝y5＝0，y4＝1 ∵y2=-2≠0 ∴x5＝0又∵y4=1≠0 ∴x2＝0将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：解方程组得：x1=-5,x3=-1, 所以原问题的最优解为X＊=(-5,0,-1)，最优值z=-123.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质原问题与对偶问题解的对应关系小结对应关系对应关系原问题原问题最优解最优解无界解无界解无可行解无可行解对偶问题对偶问题最优解最优解(Y,Y)(N,N)————————无界解无界解————————(Y,Y)无可行解无可行解————(Y,Y)无法判断无法判断3.对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质1. 影子价格的数学分析：影子价格的数学分析：定义：在一对定义：在一对 P 和和 D 中，若中，若 P 的某个约束条件的右端项常的某个约束条件的右端项常数数bi （第（第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值函数最优值z* 的改变量称为第的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等种资源的影子价格，其值等于于D问题中对偶变量问题中对偶变量yi*。

由对偶问题得基本性质可得：由对偶问题得基本性质可得：4.对偶问题的经济解释－影子价格2.  影子价格的经济意义1）影子价格是一种边际价格在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化即对偶变量yi 就是第 i 种资源的影子价格即： 4.对偶问题的经济解释－影子价格2）影子价格是一种机会成本）影子价格是一种机会成本影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资源实际的市场价格因此，从另一个角度说，这种估价不是资源实际的市场价格因此，从另一个角度说，它是一种机会成本它是一种机会成本若第若第i 种资源的单位市场价格为种资源的单位市场价格为mi ，则有当，则有当yi* > mi 时，企业愿意时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为购进这种资源，单位纯利为yi*－－mi ，则有利可图；如果，则有利可图；如果yi* < mi ，则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利，则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－－yi * ，否则，企，否则，企业无利可图，甚至亏损业无利可图，甚至亏损结论：若结论：若yi* > mi    则购进资源则购进资源i，可获单位纯利，可获单位纯利yi*－－mi 若若yi* < mi则转让资源则转让资源i ，可获单位纯利，可获单位纯利mi－－yi4.对偶问题的经济解释－影子价格3）影子价格在资源利用中的应用）影子价格在资源利用中的应用根据对偶理论的互补松弛性定理根据对偶理论的互补松弛性定理:Y*Xs=0 , YsX*=0表明生产过程中如果某种资源表明生产过程中如果某种资源表明生产过程中如果某种资源表明生产过程中如果某种资源bibi未得到充分利用时，该种资未得到充分利用时，该种资未得到充分利用时，该种资未得到充分利用时，该种资源的影子价格为源的影子价格为源的影子价格为源的影子价格为0 0；若当资源资源的影子价格不为；若当资源资源的影子价格不为；若当资源资源的影子价格不为；若当资源资源的影子价格不为0 0时，表时，表时，表时，表明该种资源在生产中已耗费完明该种资源在生产中已耗费完明该种资源在生产中已耗费完明该种资源在生产中已耗费完。

4.对偶问题的经济解释－影子价格4）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数单纯形表中的检验数其中其中c cj j表示第表示第j j种产品的价格种产品的价格; ; 表示生产该表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和, ,即产品的隐含即产品的隐含成本当产值大于隐含成本时，即当产值大于隐含成本时，即当产值大于隐含成本时，即当产值大于隐含成本时，即 ，表明生产该项产，表明生产该项产，表明生产该项产，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则品有利，可在计划中安排；否则品有利，可在计划中安排；否则品有利，可在计划中安排；否则 ，用这些资源，用这些资源，用这些资源，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。

4.对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为为对偶单纯形法对偶单纯形法不要简单理解为是求解对偶问题的单纯不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法对偶单纯形法原理对偶单纯形法原理对偶单纯形法原理对偶单纯形法原理对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路： 找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断条件下，判断XB是否可行（是否可行（XB=b为非负），有最优解否则，为非负），有最优解否则，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得5.对偶单纯形法找出一个DP的可行基LP是否可行（XB ≥0）保持DP为可行解情况下转移到LP的另一个基本解最优解是否循环结束5.对偶单纯形法例2.9 用对偶单纯形法求解：解解:（（1））将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行（求出一组基本解，因为对偶问题可行（求max问题）。

问题）5.对偶单纯形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-2-2-1100-100x5-2-3-1010-120x6-1-1-5001-14λj-9-12-1500005.对偶单纯形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/5-9/5010-1/5-36/50x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/145.对偶单纯形法cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3原问题的最优解为：原问题的最优解为：X*=（（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），），Z* =72 由定理由定理4，其对偶问题的最优解为：，其对偶问题的最优解为：Y*= （（1/3 , 3 , 7/3），），W*= 725.对偶单纯形法 对偶单纯形法应注意的问题： 用对对偶偶单单纯纯形形法法求求解解线线性性规规划划是是一一种种求求解解方方法法，，而而不不是是去去求求对对偶问题的最优解偶问题的最优解 初初始始表表中中一一定定要要满满足足对对偶偶问问题题可可行行，，也也就就是是说说检检验验数数满满足足最最优优判别准则判别准则 最小比值中最小比值中 的绝对值是使得比值非负，在极小化问题的绝对值是使得比值非负，在极小化问题σσj j≥0≥0，分母，分母a aijij<0 <0 这时必须取绝对值。

在极大化问题中，这时必须取绝对值在极大化问题中， σσ j j≤0≤0，分母，分母a aijij<0<0，， 总满足非负，这时绝对值符号不起作用，总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉如在本例中将目标函数写成可以去掉如在本例中将目标函数写成这里这里σσj j ≤0 ≤0在求在求θθk k时就可以不带绝对值符号时就可以不带绝对值符号5.对偶单纯形法 对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量； 普通单纯形法的最小比值是 其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行 对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循 规则，任选一个小于零的bi对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样5.对偶单纯形法线性规划问题的标准形式线性规划问题的标准形式令令：6.灵敏度分析一、一、 价值系数价值系数c cj j的变化分析的变化分析例例1 1：：某某企企业业利利用用三三种种资资源源生生产产两两种种产产品品的的最最优优计计划划问问题题归归结结为下列线性规划为下列线性规划问题：问题：（（1 1））确确定定x x2 2的的系系数数c c2 2的的变变化化范范围围，，使使原原最最优优解解保保持最优；持最优；（（2 2））若若c c2 2=6=6，，求求新新的的最最优计划。

优计划 6.灵敏度分析cj54000CBXBbx1x2x3x4x50x3250012-55x1351001-14 x2 10 010-12σj000-1-3最优表如下：6.灵敏度分析σ4 = c2－5 ≤ 0σ5 = 5－2c2 ≤ 0 5/2 ≤ c2 ≤ 5cj5c2 000CBXBbx1x2x3x4x50x3250012-55x1351001-1c2 x2 10 010-12σj000c2 - 55 - 2c2最优解X*=（35，10，25，0，0）保持不变1）6.灵敏度分析（2）Cj56000CBXBbx1x2x3x4x50x325001[2]-55x1351001-16 x2 10 010-12σj 0001-70x425/2001/21-5/25x145/210-1/203/26 x2 45/2 011/20-1/2σj00-1/20-9/2用对偶单纯形法是求解得x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*= x5*=0，z*=495/26.灵敏度分析二、右端常数bi的变化分析XB= B－1b例2：对于上例中的线性规划作下列分析：（1）b3在什么范围内变化，原最优基不变？（2）若b3=55，求出新的最优解。

6.灵敏度分析cj54000CBXBbx1x2x3x4x50x3250012-55x1351001-14 x2 10 010-12000-1-3最优基：B=I=（P3，P1，P2）B－1=最优解：X*=（35，10，25，0，0）6.灵敏度分析（1）XB=B－1b===≥0 B－1解得40≤b3≤50，即当b3∈[40，50] 时，最优基B 不变z*=5×（80－b3）+4×（－80+2b3） =80+3b3=6.灵敏度分析（2）当 b3= 55 时 =x2 x1x50-11/5-3/500σj0-1/52/51020 4 03/5-1/5013051-2/5-1/50050-32-1[-5]x50-1000σj -101030 x2 4 100125x152100-25x30x4x3x2x1bXBCB0045Cj最优解：X*=（30，20，0，0，5）6.灵敏度分析三、增加一个变量 的分析例3：（续例1）设企业研制了一种新产品，对三种资源的消耗系数列向量以P6表示P6= 问它的价值系数c6符合什么条件才必须安排它的生产？设c6=3，新的最优生产计划是什么？σ6=c6－CBB－1P6 =c6－（0，5，4） = c6－5/2=B－1P6 ==6.灵敏度分析Cj540003CBXBbx1x2x3x4x5x60x3250012-5[1]5x1351001-11/26 x2 10 010-120σj 000-1-31/23x6250012-515x145/210-1/203/204 x2 10 010-120σj00-1/2-2-1/206.灵敏度分析四、 增加新的约束条件的分析例4: 假设在例1中，还要考虑一个新的资源约束： 4x1+2x2≤150标准化6.灵敏度分析cj540000CBXBbx1x2x3x4x5x60x3250012-505x1351001-104 x2 10 010-1200x6150420001000-1-306.灵敏度分析Cj540000CBXBbx1x2x3x4x5x60x3250012-505x1351001-104x210010-1200 x6 150 420001σj 000-1-300x3250012-505x1351001-104x210010-1200 x6 -10 000[-2]01σj000-3-300x3150010-515x1301000-11/24x21501002-1/20 x4 5 00010-1/2σj0000-3-1/2cj56000CBXBbx1x2x3x4x50x3-250012-55x1251001-16 x2 30 010-12σj0001-7原问题与对偶问题均非可行解，表中第一方程是原问题与对偶问题均非可行解，表中第一方程是:x:x3 3+2x+2x4 4－－5x5x5 5= =－－2525，两边乘以（，两边乘以（-1-1），得），得 －－x x3 3－－2x2x4 4 + 5x+ 5x5 5= 25= 25，，再引入人工变量再引入人工变量x x6 6：－：－x x3 3－－2x2x4 4+5x+5x5 5+x+x6 6=25=25以以x x6 6为基变量，增添第为基变量，增添第6 6列，应用大列，应用大M M法继续求解。

法继续求解学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤            3. 熟练掌握对偶问题的转换熟练掌握对偶问题的转换            4. 掌握对偶问题的掌握对偶问题的5个性质个性质            5. 熟练掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤本章小结THANK YOU!。