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新高考数学二轮复习百题必刷题专题30 圆锥曲线求过定点大题(含解析).doc

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  • 卖家[上传人]:gu****iu
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    • 专题30 圆锥曲线求过定点大题100题1.已知椭圆C:.(1)求椭圆C的离心率;(2)设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点?试证明你的结论.【答案】(1)(2)以为直径的圆经过轴上的定点和,证明见解析【分析】(1)先将转化为,根据椭圆的性质得到,即可求出离心率.(2)根据椭圆方程求出,设,则①,分别求出直线和的方程,再分别与相交于点 和,设以为直径的圆经过轴上的定点,则,即得②,将①代入②得解得或,得出为直径的圆是过定点和.【详解】解:(1)由得,那么所以解得,所以离心率(2)由题可知,设,则①直线的方程:令,得,从而点坐标为直线的方程:令,得,从而点坐标为设以为直径的圆经过轴上的定点,则由得②由①式得,代入②得解得或所以为直径的圆经过轴上的定点和.2.已知椭圆:的短轴长为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线,被椭圆截得的弦长;(3)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.【答案】(1)椭圆的方程:(2)(3)见解析,【分析】(1)根据椭圆短轴长公式和离心率公式进行求解即可;(2)求出过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线方程,将与椭圆方程联立,结合椭圆弦长公式和一元二次方程根与系数关系进行求解即可;(3)根据以为直径的圆过椭圆的右顶点,可以得到向量的数量积为零,将直线方程与椭圆方程联立,利用一元二次方程根与系数进行求解即可.【详解】(1)因为椭圆:的短轴长为,离心率为,所以有且,而,解得,因此椭圆的标准方程为:;(2)因为,所以椭圆的右焦点坐标为,因此过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线方程是,因此有因此设交点坐标分别为,因此有,因此有,所以直线被椭圆截得的弦长为;(3)设,由题意可知,设椭圆右顶点的坐标为:,因为以为直径的圆过椭圆的右顶点,所以有,即.直线与椭圆的方程联立,得:因此,因此由可得:,化简得:,或当时,直线方程为该直线恒过点这与已知矛盾,故舍去;当时,直线方程为该直线恒过点,综上所述:直线过定点.3.如图,已知椭圆的上顶点为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点若是,求出该定点;若不是,请说明理由.【答案】(1) (2) 过定点【分析】(1) 椭圆的上顶点为,离心率为,可得,即可求得答案.(2) 设切线方程为,则,即.设两切线的斜率分别为,则是上述方程的两根,根据韦达定理可得:,结合已知即可求得答案.【详解】(1) 椭圆的上顶点为,离心率为 可得 解得椭圆的方程为. (2)设切线方程为,则 即 设两切线的斜率分别为,则是上述方程的两根,根据韦达定理可得: 由 消掉得:设 同理可得 直线BD方程为令,得, 故直线过定点.4.已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设点(为常数),过点作斜率分别为的两条直线与,交曲线于两点,交曲线于两点,点分别是线段的中点,若,求证:直线过定点.【答案】(1)(2)见解析【分析】(1)由题意可得,点到定点的距离等于它到的距离,从而点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,从而求出答案;(2)先写出直线的点斜式方程,再联立抛物线方程消元,得韦达定理结论,利用中点坐标公式求出点,同理求出点,从而求出直线直线的斜率及直线方程,从而得出直线过定点.【详解】解:(1)∵点到定点的距离比它到轴的距离大1,∴点到定点的距离等于它到的距离,∴点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线, ∴动点的轨迹的方程为 (2)由题意,直线的方程为,设,由,得,∴, 又线段的中点为,所以,同理,∴直线的斜率,∴直线的方程为:,即,∴直线过定点.5.已知F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点,.(1)求抛物线的方程:(2)已知为抛物线上一点,M,N为抛物线上异于P的两点,且满足,试探究直线MN是否过一定点?若是,求出此定点;若不是,说明理由.【答案】(1) (2)过定点,【分析】(1)设出直线的方程,联立抛物线的方程,根据韦达定理即可求解出的值,即可求解出抛物线的方程;(2)求解出点坐标,设出直线的方程,根据求解出之间的关系,从而确定出直线所过的定点.【详解】解:(1)由已知,直线AB的方程为联立直线与抛物线,消y可得,,所以,因为,所以,即抛物线的方程为.(2)将代入可得,不妨设直线MN的方程为,联立,消x得,则有,由题意,化简可得,,代入此时直线MN的方程为,所以直线MN过定点.6.已知圆,圆,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设不经过点的直线l与曲线C相交于A,B两点,直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2,证明:直线l过定点.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切,得到,,从而得到,得到,从而求出椭圆的标准方程;(2)直线l斜率存在时,设,代入椭圆方程,得到,,表示出直线QA与直线QB的斜率,根据,得到,的关系,得到直线所过的定点,再验证直线l斜率不存在时,也过该定点,从而证明直线过定点.【详解】(1)设动圆P的半径为r,因为动圆P与圆M外切,所以,因为动圆P与圆N内切,所以,则,由椭圆定义可知,曲线C是以为左、右焦点,长轴长为8的椭圆,设椭圆方程为,则,,故,所以曲线C的方程为.(2)①当直线l斜率存在时,设直线,,联立,得,设点,则,,所以,即,得.则,因为,所以.即,直线,所以直线l过定点.②当直线l斜率不存在时,设直线,且,则点,解得,所以直线也过定点.综上所述,直线l过定点.7.设抛物线的对称轴是轴,顶点为坐标原点,点在抛物线上,(1)求抛物线的标准方程;(2)直线与抛物线交于、两点(和都不与重合),且,求证:直线过定点并求出该定点坐标.【答案】(1);(2)证明见解析;直线恒过点.【分析】(1)设,将点代入方程求解即可;(2)当时显然不成立;当时联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理得到及的关系,由可得,代入即可得到与的关系,进而得到定点;当不存在时,联立直线方程与抛物线方程,同理运算即可【详解】解:(1)因为抛物线的对称轴是轴,设抛物线的标准方程为,因为抛物线经过点所以,所以,所以设抛物线的标准方程为(2)证明:当直线的斜率存在且时,显然直线与抛物线至多只有一个交点,不符合题意;当直线的斜率存在且时,设直线的方程为,联立,消去,得①;消去,得②;设,则为方程①的两根,为方程②的两根,,因为,所以,因为,所以,即,所以,即,所以直线的方程可化为,当时,无论取何值时,都有,所以直线恒过点,当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,把与联立得,则,因为,所以,即,得,所以直线的方程为,所以直线过点,综上,无论直线的斜率存在还是不存在,直线恒过点.8.已知抛物线:的焦点为,为抛物线上一点,为坐标原点,的外接圆与抛物线的准线相切,且外接圆的周长为.(1)求抛物线的方程;(2)已知点,设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点,,若,证明直线过定点并写出定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析,恒过定点【分析】(1)先求出的外接圆的半径长,再利用抛物线的定义可求出的值,从而得出抛物线的方程;(2)设的方程为,,,联立直线与抛物线方程,列出韦达定理,等价于即可得到、的关系,即可得到直线恒过定点.【详解】解:(1)因为的外接圆与抛物线的准线相切,所以的外接圆的圆心到准线的距离等于半径,因为外接圆的周长为,所以圆的半径为3,又圆心在的垂直平分线上,,,解得:,所以抛物线的方程为.(2)设的方程为,,,由得,,则.所以,,因为,所以,即,化简得,所以,所以,所以的方程为,恒过定点.9.已知抛物线上一点到焦点的距离等于.求抛物线的方程:设不垂直与轴的直线与抛物线交于两点,直线与的倾斜角互补,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.【答案】 定点是,证明见解析【分析】(1)由焦半径公式求得,得抛物线方程;(2)设,设直线方程是,代入抛物线方程,由韦达定理可得,代入,求得,从而直线方程只有一个参数,由方程可得定点坐标.【详解】 因为,所以抛物线方程是.设,设直线方程是,由,所以, 由得;整理得, ,即,解得,所以直线方程是,过定点,定点是.10.已知抛物线:上任意一点到其焦点的距离的最小值为1.,为抛物线上的两动点(、不重合且均异于原点),为坐标原点,直线、的倾斜角分别为,.(1)求抛物线方程;(2)若,求证直线过定点;(3)若(为定值),探求直线是否过定点,并说明理由.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)是,理由见解析.【分析】(1)根据抛物线的定义结合已知求出的值,最后写出抛物线的标准方程;(2)设出直线的方程与抛物线方程联立,由已知可以得到,结合平面向量数量积坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系,最后得到直线过定点;(3)根据(2)中的特例,再结合,根据两角和的正切公式、直线倾斜角和斜率的关系,最后能求出直线所过定点.【详解】(1)设为抛物线上任一点,为焦点,则,故抛物线方程.(2)设,,:,联立得,,,即,则.得已,从而直线过定点.(3)由(2),:,,当或时,,,故,于是直线经过定点.当且时,,,即,.故直线:,即为,故直线过定点.11.已知动圆M与直线相切,且与圆外切,记动圆M的圆心轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且(O为坐标原点),证明直线l经过定点H,并求出H点的坐标.【答案】(1)(2)H(6,0),证明见解析【分析】(1)根据抛物线的定义即可求解;(2)设,,直线l的方程为,联立方程,消去,列出韦达定理,根据即可得到方程,解得.【详解】解:(1)因为已知动圆与直线相切,且与圆外切,所以动圆的圆心到点的距离与动圆的圆心到直线的距离相等. ∴动圆的圆心的轨迹是以为焦点的抛物线. ∴曲线的方程. (2)∵直线l与曲线相交于A,B两点,∴直线l的斜率不为0.设,,直线l的方程为.由,消去,得. ∴,即. ∴,.∵,∴.∴. ∴,满足. ∴直线l的方程为.∴直线l过定点H(6,0).12.已知抛物线,直线与相交于两点,弦长.(1)求抛物线的方程;(2)直线与抛物线相交于异于坐标原点的两点,若以为直径的圆过坐标原点,求证:直线恒过定点并求出定点.【答案】(1) (2)证明见解析【分析】(1)设,联立得,求出p的值即得抛物线的方程;(2)由题得斜率一定存在,设.根据求出,即得直线经过的定点.【详解】。

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