晶格振动 (5.热膨胀)..ppt

• 不发生热膨胀 • 在高温时，比热是常数 • 两个格波之间不发生相互作用，不交换能量， 单个格波不会衰减 • 弹性常数与压力和温度无关 • 实际实际 情况并非如此• 非简谐简谐 效应应 • 准简谐处 理：非简谐项 是个小量时：声子+微 扰 • 热膨胀 • 热传导 简谐简谐 近似的局限 • 热胀冷缩 * 温度升高，晶体体积膨胀 • 温度升高？ • ——晶格振动能量增大 • 晶体体积膨胀？ • ——原子平均间距或晶格常数增加 • 严格的简谐振动不会产生热膨胀？ 7、热热膨胀胀 热热膨胀胀定性分析 • 简谐简谐 近似下，平 衡位置与温度无 关，始终终是r0， 即晶体体积积不会 变变化 • 简谐简谐 近似不能说说 明膨胀现胀现 象 • 只有考虑虑非简简 谐谐效应应才能说说 明热热膨胀现胀现 象 • 考虑一维原子链如果两个原子的间距为r， 根据玻尔兹曼统计，温度T时原子的能量分布 为 • 那么两个原子之间的平均间距为 热热膨胀胀定量计计算 • 如果用简谐简谐 近似 • 简谐简谐 近似下，平均间间距不随温度变变化 • U是δ的偶函数 • 如果用非简谐简谐 近似 • 展开 • 分母略去高次项项后，可得 • 线膨胀系数直接与非简谐系数有关 • 如果只计入势能的三次项时，线膨胀系数与 温度无关，否则，还需计入势能的更高次项 • 上述讨论只适用偏离平衡位置较小时的情况 ，太高，晶体已被融化而不复存在 • 线线膨胀胀系数为为 • 于是得 • 其中 • 压强、熵、比热等都可用自由能表示 • 晶格的自由能分为两部分，一部分与结构有关 ，另一部分与晶格振动有关(与温度有关)，为 • 根据统计力学，第i支格波的配分函数Zi • 忽略格波相互作用，总的配分函数为 Grueneisen状态态方程 • 于是可得自由能为（第一项结构能） • 由于非谐振动，体积改变时，频率变化，因 而压强 • Grueneisen假定这是一个对所有的振动都相同 的与温度无关的常数(Grueneisen常数) • 于是压强为 • 即得Grueneisen状态方程 • 热膨胀系数定义为 • 对各向同性的立方晶体，线膨胀系数是体膨 胀系数的1/3，即 热热膨胀胀与Grueneisen常数 • 利用 • 按定义，体积弹性模量为 • 于是 • 热膨胀系数与比热成正比 • 弹性模量和Grueneisen常数基本与温度无关 • 热热膨胀胀系数与温度的关系与比热热相似 • 利用Grueneisen状态方程和 • 可得 • 证证明简谐简谐 近似下，Grueneisen常数为为零，不能 说说明热热膨胀胀。

• 解：这时这时 ，体积积相当于 • 而频谱频谱 例：一维单维单 原子链链 • n取整数 • 如果在简谐简谐 近似下，力常数与晶格常数无关 • 这这里 • 因此，简谐简谐 近似不能说说明热热膨胀胀 • Grueneisen常数就不为为零，热热膨胀胀系数不为为零 • Grueneisen常数是一个与非简谐简谐 效应应有关的量 ，一般在1~2之间间 • 如果存在非简谐项简谐项 ，则则 8、热传导热传导 • 固体导热导热 ：电电子导热导热 +？ • 晶格导热导热 ：格波的传传播 • 考察理想气体热传导热传导 ？ • 思考：什么在热传导热传导 中决定作用？ • 碰撞！温度高区域的分子运动动到温度低的区域 时时，通过过碰撞，把平均动动能传给传给 其他分子； 反过过来也一样样，这样这样 的能量传递传递 宏观观上就表 现为热传导现为热传导 ，热导热导 率为为 • 与温度有关 • 因此如果将晶格热热运动动系统统看作是声子气， 则则晶格导热导热 就是声子扩扩散的过过程 • 看作从声子密度高的区域向低的区域扩扩散 • 声子是能量子，声子的“定向流动动”就意味着能 量输输运，形成热传导热传导 • 理想气体：温差——能量输输运——热传导热传导 • 晶格振动热传导动热传导 ？ • 晶格振动动——声子——分布 • 与温度有关的声子分布的均匀过过程如何建立？ • 靠相互作用，靠碰撞？ • 简谐简谐 近似：格波独立，声子间间没有相互作用！ • 必须须考虑虑非简谐简谐 效应应——声子与声子之间间的 碰撞，各个格波之间间有相互作用 简谐简谐 振动动热传导热传导 ? • 一个声子的存在会引起周期性弹弹性应变应变 • 这这种弹弹性应变应变 如果较较大，则则不能再用简谐简谐 近 似来描写 • 这样这样 ，非简谐弹简谐弹 性应变对应变对 晶体的弹弹性常数产产 生空间间和时间时间 上的调调制 • 第二个声子感受到这这种弹弹性常数的调调制，受到 散射而产产生第三个声子 声子之间间相互作用的图图象 • 将有限温度下的晶体想象成包含声子气的容器 • 不同模式的声子具有不同的动动量，能量 • 速度，按Debye近似，声速 • 声子间间的相互作用就象气体间间分子的碰撞一样样 ，交换动换动 量、能量简谐简谐 近似下不可能 • 虽虽然当作气体分子处处理，但注意：声子是晶格 振动动的能量量子，是一种元激发发，不具有质质量 ，声子数也不守恒，可以产产生和湮灭灭 声子气 • 如果势势能的非简谐项简谐项 比简谐项简谐项 小得多时时，用 微扰扰，这时这时 声子仍可看作是理想气体，但声子 之间间有相互作用——碰撞 • 用与理想气体同样样的方法可以得到同样样的结结果 • 该该式中的比热热已知，平均速度可用声子速度代 替，问题问题 是如何确定声子平均自由程？ 晶体热传导热传导 系数 平均自由程取决于声子碰撞 • 理论论分析非常复杂杂：取决于声子与声子之间间的 碰撞，还还有声子与杂质杂质 的碰撞，声子与样样品 边边界的碰撞 • 声子与声子之间间碰撞：三声子碰撞过过程的动动量 、能量守恒关系（Gh是倒格矢） • N过过程 • 常称N过过程(Normal process)，对应对应 q1和q2较较小 • 声子的动动量没有发发生变变化，因此，N过过程只改 变变声子的动动量分布 • 如果声子的总动总动 量为为零，就没有热热流 • 在热热平衡下，由于 • 因此，N过过程由于只改变变声子的动动量分布，而 基本上不影响热热流的方向 正常过过程： Gh等于零 • U过过程 • 对应对应 q1和q2较较大，与B区的尺度可比才能发发生 ，能量大的格波参与才能发发生 • 这这种格波数随温度下降很快，因此，U过过程可 改变变声子数的分布 • 这这种过过程对热导对热导 率的下降十分有效 • 如果只有N过过程，热热流一旦建立，不会衰减 • 常称U过程(Umklapp Process) • 声子总的动量改变了一个非零的倒格矢的动量 倒逆过过程： Gh不等于零 典型情况：高温 • 即在高温时时，平均声子数正比于温度T • 声子数随温度增加，碰撞几率增大，平均自由 程减少，与温度成反比 • 高温时时，声子数为为 • 高温时时，比热热与温度无关，则则 色散关系w(q) 中子非弹性散射 吸收或发射声子 为什么中子？ 9、确定振动谱动谱 的实验实验 方法 中子性质质 • 中子仅仅与核有相互作用，可以毫无困难难地穿透 晶体 • 使用中子能量：0.01eV数量级级，与声子的能量 相同数量级级 • 这样这样 能量的中子的德布洛依波长长几个埃，与晶 格常数同数量级级 中子和声子相互作用 能量守恒 kk’ 动量守恒 + 激发声子 - 吸收声子 选择倒格矢Gh 使q在第一布里 渊区 守恒关系现为 。