二轮复习数学文通用版讲义：第一部分 第二层级 重点增分专题五　三角恒等变换与解三角形 Word版含解析.doc

重点增分专题五　三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018三角函数的定义及恒等变换·T11二倍角公式及余弦定理·T7二倍角公式·T4正、余弦定理及三角形面积公式·T16诱导公式及三角恒等变换·T15三角形的面积公式及余弦定理·T112017三角恒等变换、正弦定理解三角形·T11利用正、余弦定理解三角形·T16三角恒等变换求值问题·T4三角恒等变换求值问题·T15利用正弦定理解三角形·T152016利用余弦定理解三角形·T4正弦定理的应用、诱导公式·T15三角恒等变换求值问题·T6同角三角函数的关系、诱导公式·T14利用正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式·T9(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．在17题位置上进行考查时，与“数列”交替进行考查(近三年文科一直在考“数列”)． 保分考点·练后讲评[大稳定]1.＝(　　)A．－　　　　　　　　 　B．－1C. D．1解析：选D　原式＝2×＝2×＝ 2sin 30°＝1.故选D.2.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)A. B.C．－ D．－解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.3.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)A. B.C. D.解析：选C　∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.∵sin(α－β)＝－，sin α＝，∴cos(α－β)＝，cos α＝，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.[解题方略]　三角函数求值的类型及方法给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的给值求角实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 [小创新]1.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log 2等于(　　)A．2 B．3C．4 D．5解析：选C　因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log2＝log52＝4.故选C.2.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝________.解析：∵a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan＝＝＝.答案： [分点研究]题型一　利用正、余弦定理进行边、角计算[例1]　(2018·石家庄质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.[解]　(1)∵在△ABC中，＝tan A＋tan B，∴＝＋，即＝，∴＝，则tan A＝，又0，∴b＋c∈(，2]．[变式2]　若本例(2)变为：AD⊥BC，且a＝，求AD的取值范围．解：∵S△ABC＝AD·BC＝bcsin A，∴AD＝bc.由余弦定理得cos A＝＝≥，∴0，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时．答案：3．(2018·南宁摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．(1)求证：2b＝a＋c；(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b.解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，∴由正弦定理可得sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，可得sin Ccos B＋sin B cos C＋sin C＝2sin B，sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B，∴a＋c＝2b.(2)∵B＝，∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝4，∴ac＝16.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4. 解三角形与三角函数的交汇问题 [典例]　如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.(1)求△ABC的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)M>0，ω>0，|φ|<的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．[解]　(1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝2A，又A＋B＋C＝π，所以A＝.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ，所以c2－10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.因为CO＝10×sin ＝5，所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3＋)．(2)因为AO＝10×cos ＝5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，故ω＝.因为f(－5)＝Msin＝0，所以sin＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.因为f(0)＝Msin ＝5，所以M＝10，所以f(x)＝10sin.[解题方略]　解三角形与三角函数交汇问题一般步骤[多练强化](2019届高三·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．解：(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－＝－sin 2x－＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，和.(2)由(1)知f(x)＝－sin，∴f(A)＝－sin＝－1，∵△ABC为锐角三角形，∴0