第二章信号检测与估计理论(1).ppt

2024/8/171第二章 信号检测与估计理论的基础知识主要内容①①随机变量、随机矢量及其统计描述随机变量、随机矢量及其统计描述②②随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述③③复随机过程及其统计描述复随机过程及其统计描述④④线性系统对随机过程的响应线性系统对随机过程的响应⑤⑤高斯噪声、白噪声和有色噪声高斯噪声、白噪声和有色噪声⑥⑥信号和随机参量信号及其统计描述信号和随机参量信号及其统计描述⑦⑦窄带高斯噪声及其统计特性窄带高斯噪声及其统计特性⑧⑧信号加窄带高斯噪声及其统计特性信号加窄带高斯噪声及其统计特性2024/8/172曾经的考试题2024/8/173 信号的随机性及其统计处理方法信号的随机性及其统计处理方法 或或 是待处理的随机信号是待处理的随机信号 统计处理方法，主要体现在如下三个方面：统计处理方法，主要体现在如下三个方面： 统计描述随机信号：概率密度函数，统计平均量，功率谱密度等；统计描述随机信号：概率密度函数，统计平均量，功率谱密度等； 统计意义上的最佳处理统计意义上的最佳处理————满足指标要求的处理；满足指标要求的处理； 统计评价统计评价————处理结果由概率，平均代价，平均错误概率，均方误差处理结果由概率，平均代价，平均错误概率，均方误差等统计量来评价。

等统计量来评价2024/8/1742.1 引言是随机信号，但是其统计特性都非常有规律，因是随机信号，但是其统计特性都非常有规律，因此选择用概率论，数理统计、随机过程等工具来此选择用概率论，数理统计、随机过程等工具来描述描述. .2024/8/1752.1 随机变量、随机矢量及其统计描述2.2.1 随机变量的基本概念随机变量的基本概念1 概率空间：概率空间：在科尔莫戈罗夫的概率公理化结构中，称在科尔莫戈罗夫的概率公理化结构中，称为概率空间，为概率空间， 为样本空间，为样本空间，F事件域，事件域，P概率a a 样本空间表示随机试验所有出现的可能结果，其中试验的某一个结样本空间表示随机试验所有出现的可能结果，其中试验的某一个结果称为样本点，样本空间中的某个子集称为事件果称为样本点，样本空间中的某个子集称为事件2024/8/1762024/8/1772 2 随机变量随机变量Mapping2024/8/1782 .2.2 2 .2.2 随机变量的概率密度函数随机变量的概率密度函数( (pdfpdf) )1 1分布函数分布函数(CDF)(CDF)2024/8/179分布函数左连续的证明教材分布函数左连续的证明教材p9p9 2024/8/17102 2 概率密度函数概率密度函数( (pdfpdf) )2024/8/17112.2.3 2.2.3 随机变量的统计平均量随机变量的统计平均量1 1 随机变量的均值随机变量的均值随机变量函数的均值随机变量函数的均值2024/8/17122 2 随机变量的矩随机变量的矩 数学期望、方差、协方差数学期望、方差、协方差( (混合中心矩混合中心矩) )等都是随机变量等都是随机变量的最常用的数字特征，它们都是某种矩，矩是最广泛使用的的最常用的数字特征，它们都是某种矩，矩是最广泛使用的一种数字特征，在概率论和数理统计中占有重要地位。

最常一种数字特征，在概率论和数理统计中占有重要地位最常用的矩有两种：用的矩有两种：原点矩和中心矩原点矩和中心矩2024/8/17132 2 随机变量的矩随机变量的矩——原点矩原点矩0 0阶原点矩，阶原点矩，1 1阶原点矩，阶原点矩，2 2阶原点矩称之为均方值阶原点矩称之为均方值随机变量的矩随机变量的矩——中心矩中心矩2024/8/17142 2 随机变量的矩随机变量的矩 原点矩和中心距之间的关系原点矩和中心距之间的关系 切比雪夫不等式及意义切比雪夫不等式及意义2024/8/1715 随机变量的偏度随机变量的偏度2024/8/1716随机变量的偏度随机变量的偏度图图1 1和图和图2 2分布的偏度分别为分布的偏度分别为2.45722.4572和和0.70530.7053，即图，即图1 1分布的偏度明显大于图分布的偏度明显大于图2 2分布的偏分布的偏度，其原因就在于图度，其原因就在于图1 1的分布较图的分布较图2 2在右方向的尾部有更明显的拉长趋势（相对于左尾，在右方向的尾部有更明显的拉长趋势（相对于左尾，图图1 1分布的右尾较图分布的右尾较图2 2离均值更远）。

离均值更远） 2024/8/1717随机变量的峰度随机变量的峰度2024/8/1718随机变量的峰度随机变量的峰度图图3 3 是将是将150150个数据经标准化后画出的密度直方图，并拟合上了标准正态密度曲个数据经标准化后画出的密度直方图，并拟合上了标准正态密度曲线从图中可以看出，分布在众数附近线从图中可以看出，分布在众数附近““峰峰””的尖峭程度要远高于正态分布但的尖峭程度要远高于正态分布但由式（由式（4 4）计算得到的峰度值却为，）计算得到的峰度值却为，g2=-0196,g2=-0196,小于正态分布的峰度值小于正态分布的峰度值0 0 2024/8/17193 3 随机变量的中值随机变量的中值4 4 随机变量的众数随机变量的众数2024/8/17202.2.4 2.2.4 一些常用的随机变量一些常用的随机变量1 1 均匀分布随机变量均匀分布随机变量2 2 高斯分布随机变量高斯分布随机变量3 3 三角对称随机分布变量三角对称随机分布变量4 4 单边、双边指数分布随机变量单边、双边指数分布随机变量5 5 瑞利分布随机变量瑞利分布随机变量6 6 广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量2024/8/17211 1 均匀分布随机变量均匀分布随机变量则称则称x x服从区间服从区间[ [ a, b a, b ] ]上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：x x ～～ U U( (a a, , b b) )2024/8/1722分布函数为分布函数为: : p(x)p(x)≥0, 2024/8/1723若若x~U [a, b], (x1, x2)为为[a, b]的任意子区间，则的任意子区间，则2024/8/1724 正态分布（高斯分布）是应用最正态分布（高斯分布）是应用最广泛的一种分布广泛的一种分布. . 正态分布在十九世纪前叶由高斯正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布加以推广，所以通常称为高斯分布. .德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式近似公式——二项分布的渐进公式，这一二项分布的渐进公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面公式被认为是正态分布的首次露面. .2 2 高斯分布随机变量高斯分布随机变量高斯高斯2024/8/17252024/8/1726 若随机变量若随机变量 x的的概率密度为概率密度为记作记作 p (x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， >0，，则称则称x服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 2024/8/1727(1) p(x)(1) p(x)≥0, (2)(2)图 2.2高斯分布随机变量的pdf曲线（μx＞0） 2024/8/1728 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的对称的钟形曲线钟形曲线. .特点是特点是““两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称””. .2024/8/1729 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点2024/8/1730 这说明曲线这说明曲线 p p( (x x) )向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x x轴。

即轴即p p( (x x) )以以x x轴为渐近线轴为渐近线 当当x→x→ ∞∞时，时，p p( (x x) )→→0 0, ,2024/8/1731用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为p (x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标x = μ   σ2024/8/1732正态分布的概率密度正态分布的概率密度 的性质的性质（1） 密度曲线 以 为对称轴，即（2） 密度函数 在 处达到最大值 ，越远值越小，表明对于同样长度的区间，当区间离 越远时， 落在这个区间上的概率越小3） 位于 轴上方，以 轴为渐近线，即 （4） 的图形依赖于两个参数 ：动而不改变形状，故 称为 的位置参数；若固定 的值改变 的值，则 的图形沿着 轴平行移2024/8/1733随 的增大而减小故称 为 的形状参数（图2-9）若固定 的值改变 的值，由于最大值为 ，可知当 越小时， 越大， 的图形越尖陡；当 越大时，越小， 的图形越低平。

因而， 落在 附近的概率2024/8/1734标准高斯分布标准高斯分布2024/8/1735练习题练习题2024/8/1736标准高斯分布的一维累积分布函数和右尾积分标准高斯分布的一维累积分布函数和右尾积分2024/8/1737例:data=normrnd (0,1,30,1);p=capaplot(data,[-2,2])p =0.97932024/8/1738在指定的界线之间画正态密度曲线在指定的界线之间画正态密度曲线p=p=normspec(specs,mu,sigmanormspec(specs,mu,sigma) ) %specs%specs指定界线，指定界线，mumu、、sigmasigma为正态分布参数，为正态分布参数，p p为样本落在为样本落在上、下界之间的概率上、下界之间的概率例例:p=normspec([10 Inf],11.5,1.25);p=0.8849:p=normspec([10 Inf],11.5,1.25);p=0.88492024/8/1739则称则称 x 服从参数为服从参数为 的的单边带单边带指数分布指数分布.若随机变量若随机变量x x具有概率密度具有概率密度常简记为常简记为 x~E( ) .3 3 指数分布随机变量指数分布随机变量分布函数为：分布函数为： 2024/8/1740p(x)p(x)≥0, 2024/8/1741若随机变量若随机变量x x具有概率密度具有概率密度2024/8/17423 3 指数分布随机变量指数分布随机变量图图2.62.6单单/ /双边指数分布随机变量的双边指数分布随机变量的PDFPDF曲线（曲线（ββ＞＞0 0））2024/8/1743 4 4 瑞利分布随机变量瑞利分布随机变量(1)(1)高斯过程通过窄带线性系统后成为窄带高斯过程，其包络高斯过程通过窄带线性系统后成为窄带高斯过程，其包络的分布属于瑞利分布；的分布属于瑞利分布；(2)(2)信号在信道中传输，其幅度的衰落通常也认为服从瑞利分信号在信道中传输，其幅度的衰落通常也认为服从瑞利分布。

布则称则称x x服从服从瑞利瑞利分布分布. .若随机变量若随机变量x x具有概率密度具有概率密度2024/8/17442024/8/1745 瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型两个正交高斯噪声信号之和的包络服种分布类型两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布从瑞利分布 4 4 瑞利分布随机变量瑞利分布随机变量图图2.8 2.8 瑞利分布随机变量的瑞利分布随机变量的PDFPDF曲线（曲线（σσ2 2=1=1））2024/8/1746 高斯过程通过窄带线性系统后成为窄带高斯过程，其包高斯过程通过窄带线性系统后成为窄带高斯过程，其包络的分布属于瑞利分布；络的分布属于瑞利分布； 信号在信道中传输，其幅度的衰落通常也认为服从瑞利分信号在信道中传输，其幅度的衰落通常也认为服从瑞利分布2024/8/17475 广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量正弦信号加窄带高斯过程其包络的分布就服从广义瑞利分布设正弦信号的幅度为a,相位 在 之间均匀分布，高斯过程的均值为0，方差为2024/8/17485 5 广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量 如果令如果令 , 则得到归一化的广义瑞利则得到归一化的广义瑞利分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为图图2.92.9广义瑞利分布随机变量的广义瑞利分布随机变量的PDFPDF曲线（曲线（σσ2 2=1=1））2024/8/17495 5 广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量广义瑞利分布随机变量的各阶矩由下式给出广义瑞利分布随机变量的各阶矩由下式给出 为输入功率信噪比，为输入功率信噪比，1F1为库默尔函数，亦称合流为库默尔函数，亦称合流超几何函数超几何函数2024/8/17506 6 三角对称分布随机变量三角对称分布随机变量图2.4 三角对称分布图2.5三角对称分布2024/8/17512.2.5 2.2.5 随机矢量及其统计描述随机矢量及其统计描述 主主 要要 内内 容容1 1 随机矢量的概念随机矢量的概念2 2 随机矢量的概率密度函数随机矢量的概率密度函数3 3 均值矢量和协方差矩阵均值矢量和协方差矩阵4 4 统计独立性和独立同分布统计独立性和独立同分布5 5 联合高斯随机矢量联合高斯随机矢量2024/8/17521 1 随机矢量的概念随机矢量的概念2 2 随机矢量的分布函数随机矢量的分布函数2024/8/17533 3 随机矢量的概率密度函数随机矢量的概率密度函数4 4 均值矢量和协方差矩阵均值矢量和协方差矩阵均值矢量均值矢量2024/8/17544 4 均值矢量和协方差矩阵均值矢量和协方差矩阵协方差矩阵定义为协方差矩阵定义为如果如果xj与与xk互不相关，互不相关， , 协方差矩阵协方差矩阵 变为对角矩阵变为对角矩阵2024/8/17555 5 统计独立性和独立同分布统计独立性和独立同分布 统计独立统计独立 独立同分布独立同分布2024/8/17565 5 联合高斯随机矢量联合高斯随机矢量2024/8/1757例：例：mu1=[-1,2]; Sigma2=[1 1; 1 3]; % mu1=[-1,2]; Sigma2=[1 1; 1 3]; % 输入均值向量和协方差矩阵输入均值向量和协方差矩阵[X,Y]=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); [X,Y]=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); xyxy=[X(:) Y(:)]; % =[X(:) Y(:)]; % 产产生网格数据并处理生网格数据并处理( (两列两列2501*2 2501*2 ））p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); % % 求取联合概率密度求取联合概率密度P=P=reshape(p,size(Xreshape(p,size(X)); )); % % Change size(2501*1—61*41)Change size(2501*1—61*41)surf(X,Y,Psurf(X,Y,P) )2024/8/1758 对协方差矩阵进行处理，可计算出新的联合概率密对协方差矩阵进行处理，可计算出新的联合概率密度函数。

度函数>> Sigma2=diag(diag(Sigma2)); % >> Sigma2=diag(diag(Sigma2)); % 消除协方差矩阵消除协方差矩阵的非对角元素的非对角元素>> p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); >> p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); P=P=reshape(p,size(Xreshape(p,size(X)); )); surf(X,Y,Psurf(X,Y,P) )R R为为m m行行n n列2024/8/1759w例：例：mu1=[-1,2]; Sigma2=[1 1; 1 3]; mu1=[-1,2]; Sigma2=[1 1; 1 3]; R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),'o')R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),'o') Sigma2=diag(diag(Sigma2)); figure; Sigma2=diag(diag(Sigma2)); figure; R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(:,1),R2(:,2),'o') R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(:,1),R2(:,2),'o')2024/8/1760N N维联合高斯随机矢量的三条主要性质维联合高斯随机矢量的三条主要性质说明：说明：N N维联合高斯随机矢量的边缘分布仍是高斯分维联合高斯随机矢量的边缘分布仍是高斯分布的，所以，也可以这样定义布的，所以，也可以这样定义N N维联合高斯随机矢量维联合高斯随机矢量的定义：如果的定义：如果N N维随机矢量的每一个分量都是时服从维随机矢量的每一个分量都是时服从高斯分布的，则称其为高斯分布的，则称其为N N维联合高斯随机矢量。

维联合高斯随机矢量2024/8/1761N N维联合高斯随机矢量的三条主要性质维联合高斯随机矢量的三条主要性质2024/8/1762N维联合高斯随机矢量的三条主要性质维联合高斯随机矢量的三条主要性质说明说明 之间，若相互统计独立，一定互不相关；若互不相关，也相互统计独立之间，若相互统计独立，一定互不相关；若互不相关，也相互统计独立2024/8/1763教材教材P19 例例2.2.12024/8/17642.2.6 2.2.6 随机变量的函数随机变量的函数随机变量变随机变量变换前的概率换前的概率密度函数密度函数随机变量变随机变量变换后的概率换后的概率密度函数密度函数2024/8/17651 1 一维随机变量的情况一维随机变量的情况2024/8/17662 N2 N维随机矢量的情况维随机矢量的情况2024/8/17672024/8/17682024/8/17692024/8/17702024/8/17712024/8/17722024/8/1773。