二面角的求法.docx

二面角的求法一、考点、热点回顾考点一：二面角有关的概念(1) 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.(2) 二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的 角叫作二面角的平面角.考点二：二面角的平面角的求法1、定义法：则ZAOB就是以二面角的棱a上任意一点0为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB, 此二面角的平面角说明：定义法是选择一个平面内的一点(一般为这个面的一个顶点)向棱作垂线， 再由垂足在另一个面内作棱的垂线此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计 算，不是我们首选的方法例 1、在四面体S— ABC 中，若ZBAC 二 9°°'ZBAS 二 ZCAS 二 600，又AB 二AC = AS，求面角A — BC — S的大小分析：可直接依据二面角的定义，构作出二面角的平面角，再通过解三角形求出其大小：解：令AB = AC = AS = a，因为ZBAS =ZCAS = 600，所以SB = SC = a，从而两等腰直角AABC =^SBC ；取BC的中点D ,连AD、SD,则SD丄BC，AD丄BC ,于是由二面角的平面1SD = AD 二一BC a,SA = a角的定义可知：ZADS为二面角A 一BC 一S的平面角，又因 2 2 ，则由此可得：SD2 + AD2 = SA2，故勾股定理的逆定理可知在AASD中，ZADS = 900，即AASD为直角三角形，所求二面角A — BC — S的大小为90°2、三垂线法在一个平面么内选一点A向另一平面卩作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足 为0, 连结A0,则ZA0B就是二面角的平面角。

说明：三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向 棱作垂线，连结这个点和棱上垂足此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此 法例2、已知三棱柱P-ABC的底面为正三角形，PA丄面ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小三垂线法：过B作BE丄AC于E,过E作ED丄PC于D,连结BD,则ZBDE就是此二面角的平面角c评注：应用二面角定义时，常常要先在二面角的棱上取一个适当的点（常取中点），然后再过这一点 在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线，找出二面角的平面角，然后通过解三角形求得二面角的大 小3、垂面法过二面角内一点A作AB丄a于B,作AC丄卩于C,面ABC交棱a于点0,则ZB0C就是二面角的平面 角a说明：垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择, 所以此法一般不用例3、如图：设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点1) 求证：A1、E、C、F四点共面；(2) 求二面角A1-EC-D的大小分析与证明(1)要证A1、E、C、F四点共面，可证：A、F//EC，取DC中点H,连AH、FH,则 A』=EC,又 F^=A1AO 故 A1F//AH,即 A1F//EC，从而 A、E、C、F 四点共面。

2)要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本题可用三垂线法，因FH丄底面ABCD 于H,过H作HM丄EC于M,连FM,则由三垂线定理知FM丄EC所以ZHMF为所求二面角A1-EC-D的平面角^AA=a,则 从而 EC=—a,2 2HM =¥禺即皓厶啦H =腭,所以二面角AX-EC- D 为 arctg-Jl.4、补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题即当二平面没有 明确的交线时，一般用补棱法解决例4、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，ZBCD = 60°, E是CD的中点，PA丄底面 ABCD, PA=2.(I) 证明：平面PBE丄平面PAB;(II) 求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小在等腰Rt^PAF中,AG在 Rt^PAB 中,AH 二AP严PBAP^BJAP2 +AB22 _2^5所以，在Rt^AHG中,sin ZAGH = AG2/55 = ^10分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要 补充完整（延长AD、BE相交于点F,连结PF.）再在完整图形中的 PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。

I）证略解：（II）延长AD、BE相交于点F,连结PF.过点A作AH丄PB于H,由（I）知平面PBE丄平面PAB,所以AH丄平面PBE.在 RtAABF 中，因为 ZBAF=60°,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt^PAF中，取PF的中点G,连接AG.则AG丄PF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得,PF丄HG.所以ZAGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arcsin5、摄影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用S射影面积公式（cos二 射）求出二面角的大小S斜说明：射影法是在不易作出平面角时用在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线, 射影关系，再用公式，这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用例5、如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A]M:MA=3:1,求截面B]D]M 与底面ABCD所成二面角分析与解：本题应用“射影法”求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角容易它可以不作 出所求二面角的平面角因是正方体，所以B]、D]、M在底面射影分别为B、D、A,设棱长为a.因在底面的射碧MBD的面积为丄込而ABiDME 气为等腰三角形 AxM=-ct,Bx4 4设尽6中点为O,后则——a4故£吗可-截面BXDXM与底面血UD所成二面角为G2 8 1717所以截面BXDXM与底面所成二面角为arccos176、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用 向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何 图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例6、：如图，在五面体ABCDEF中，FA丄平面ABCD, AD//BC//FE，AB丄AD，M为EC的中点,I 「 51af=ab=bc=fe= ad2⑴ 求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD丄平面CDE；(III) 求二面角A-CD-E的余弦值现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点设AB = 1，依题意得B(1,0,0)C(1,1,0) D(0,2,0) E(0,1,1) F(0,0,1)(1 1)M —丄一.12 2丿⑴ 解:BF = C 1,0,1) DE = 6 -1,1)bF • dE = o+o+1 = 1=岡阴=方忌=2于是 cos； BF ,DED所以异面直线BF与DE所成的角的大小为600.(II)证明:由AM = f- ,1 丄］,cE = (-1,0,1) aD = 6 2,0) 可得cE • aM = 0,12 2丿CE • AD = 0.因此，CE 丄 AM , CE 丄 AD.又AMAD = A,故CE丄 平面AMD.而CE u平面CDE ,所以平面AMD丄平面CDE.(III)解：设平面CDE的法向量为u = (x, y , z),贝『CE = 0‘ u • DE = 0. 于是; ” 令 x = 1,可得 u = (1,1,1).[-y + z = 0.又由题设,平面ACD的一个法向量为V = (0,0,1).••・GF是AAMS的中位线，点G是AS的中点。

则/GFB即为所求二面角.SM = -JlGF =则 2，三、课堂练习1、例1、如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD丄底面ABCD, AD =迈DC = SD = 2，点皿在侧棱SC 上, ZABM =60I） 证明：M在侧棱SC的中点（II） 求二面角S — AM — B的大小解题思路：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上 的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三 角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题证（I）略 解（II）:利用二面角的定义在等边三角形ABM中过点B作BF丄AM交AM于点F，则点F 为AM的中点，过F点在平面ASM内作GF丄AM，GF交AS于G,连结AC,TAADC9AADS,・・・AS-AC,且M是SC的中点，.•.AM丄SC, GF丄AM,・GF〃AS，又T F为AM的中点，又...SA 二 AC = \! 6，.: AM 二 2 , • AM 二 AB 二 2, ZABM = 60。

ABM 是等边三角形,•・BF 在△ GAB中,AG二卫2 AB 二 2ZGAB = 9Oo,1122GF - FBMF1 11+ 3 —/口” GF2 + FB2 - BG2 2 + 3 2 - 2cos ZBFG = = = =2 %1'2 3 弋62 x x、： 32arccos( -^6)面角S — AM — B的大小为 32、如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA丄平面ABCD,/ABC二60岸,f分别是BC, PC的中点.(I) 证明：AE丄PD;(II) 若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为<6—，求二面角E—AF—C的余弦值.D分析：第1题容易发现，可通过证AE丄AD后推出AE丄平面APD,使命题获证，而第2题，则首先必 须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可 计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值答案：二面角的余弦 v''15值为5 )3、如图，设正三棱柱ABC-A'B'C '各棱长均为a, D为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角 的度数分析与解 由图，平面A'BD与平面ABC只出现一个交点，故延长A'D交AC延长线于F点，连BF, 则BF为所求二面角的棱。

因 CD=C'D，则 A'C'=CF=BC=AC，所以ZABF=90°，取 BF 中点 E,连 DE,贝9CE丄BF, 又 DC丄平 面ABF,即DE丄BF,从而ZDEC为所求二面角的平面角■.-CE //- AB=-a, DC=-a,。