2022年第2章数列单元测试.doc

数列单元练习1.在等比数列中，若，，则的值为_____________1.-3.提示：q4=,q2=.=-9×=-3.2．在正整数100至500之间能被11整除的个数为 .2.36.提示：观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数an=110+（n－1）·11=11n+99，由an≤500，解得n≤36．3．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1（n≥1），则a1+a2+a3+a4+a5等于 3．－1.提示：由已知：an+1=an2－1=（an+1）（an－1），∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1．4．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9= 4．33.提示：a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9成等差数列，故a3+a6+a9=2×39－45=33．5．正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4= 5．28.提示：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得S4=28或－21（舍去）．6．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_________．6.4.提示：每次能洗去污垢的，就是存留了，故洗n次后，还有原来的（）n，由题意，有：（）n<1%，∴4n>100得n的最小值为4．7．设an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大是第 项。

7．第10项或11项.提示：由an=－n2+10n+11=－（n+1）（n－11），得a11=0，而a10>0，a12<0，S10=S11．8．设函数f（x）满足f（n+1）=（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）= 8.97.提示：f（n+1）－f（n）=相加得f（20）－f（1）=（1+2+…+19）f（20）=95+f（1）=97．9.某大楼有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层到20层，每层一人，而电梯只允许停一次，可只使一人满意，其余18人都要上楼或下楼假设乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2所有人不满意之和为S，为使S最小，电梯应停在第 层 9.14．提示：设停在第k层，不满意度为S=1+2+…+(k-2)+2(1+2+3+..+20-k) =(3k2-85k+842),k=14时S最小10．等比数列{an}，an>0，q≠1，且a2、a3、a1成等差数列，则= 10．. 提示：依题意：a3=a1+a2，则有a1q2=a1+a1q，∵a1>0，∴q2=1+=．又∵an>0．∴q>0，∴q=，==．11．已知an=（n∈N*），则数列{an}的最大项为_______．11.a8和a9．提示：设{an}中第n项最大，则有即，∴8≤n≤9。

即a8、a9最大．12．在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an= 12.提示：∵an+1=Sn,∴an=Sn-1(n≥2).相减得,an+1-an=an,∴(n≥2)，∵a2=S1=×1=,∴当n≥2时，an=·（）n-2. 13．将给定的25个数排成如图所示的数表， 若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a33=1,则表中所有数之和为__________.13．25.提示:第一行的和为5a13,第二行的和为5a 23，…，第五行的和为5a53,故表中所有数之和为5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a 33=25. 14．函数由下表定义：若，，，则 ．14．4.提示：令，则，令，则，令，则，令，则，令，则，令，则，…，所以．二．解答题15．数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能．试求出前7项和．【解】（1）若3，9，…，2187，能成等差数列，则a1=3，a2=9，即d=6．则an=3+6（n－1），令3+6（n－1）=2187，解得n=365．可知该数列可构成等差数列，S7=7×3+×6=147．（2）若3，9，…，2187能成等比数列，则a1=3，q=3，则an=3·3n－1=3n，令3n=2187，得n=7∈N，可知该数列可构成等比数列，S7==3279．16．在数列中，，．（1）求数列的前项和；（2）证明不等式，对任意皆成立。

16．（1）数列的通项公式为所以数列的前项和 （2）任意， 当时，；当且时，，∴，即所以不等式，对任意皆成立17．已知等差数列{an}中，a2=8，前10项和S10=185．（1）求通项an；（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn．考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力．17.【解】（1）设{an}公差为d，有解得a1=5，d=3∴an=a1+（n－1）d=3n+2（2）∵bn=a=3×2n+2∴Tn=b1+b2+…+bn=（3×21+2）+（3×22+2）+…+（3×2n+2）=3（21+22+…+2n）+2n=6×2n+2n－6．18．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求sn;（3）设bn＝ ( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由18.解：（1）由an＋2＝2an＋1－anÞan＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝＝－2－∴an＝10－2n（2）由an＝10－2n≥0得n≤5∴当n≤5时，Sn＝－n2＋9n当n>5时，Sn＝n2－9n＋40故Sn＝ （n∈N）（3）bn＝＝＝()∴Tn＝ b1＋b2＋…＋bn ＝[(1－)＋(－)＋(－)＋……＋(－)]＝(1－)＝＞＞Tn－1＞Tn－2＞……＞T1.∴要使Tn>总成立，需

故适合条件的m的最大值为7．19．商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷建行偿贷款形式（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，＝1.4774）19.（1）设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．　　依题意有　…．化简得．∴　．两边取对数整理得．∴　取n＝12（年）．∴　到2014年底可全部还清贷款．　　（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，　　依题意有…．　　化简得．　　∴　（元）故每生每年的最低收费标准为992元．20.已知数列中，，（且）．（Ⅰ）若数列为等差数列，求实数的值；（Ⅱ）求数列的前项和．20.解：（Ⅰ）因为（且），所以．显然，当且仅当，即时，数列为等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：数列是首项为，公差为1的等差数列，故有，即（）．因此，有， ，两式相减，得 ， 整理，得（）．备选题：1.一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比为_______________。

1.提示：设2.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为 ．2.7分钟提示：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n++5n=70整理得：n2+13n－140=0，解得：n=7，n=－20（舍去）3.若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，则它们相同的项的项数是 3.25.提示：设这两个数列分别为{an}、{bn}，则an=3n+2，bn=4n－1，令ak=bm，则3k+2=4m－1．∴3k=3（m－1）+m，∴m被3整除．设m=3p（p∈N*），则k=4p－1．∵k、m∈［1，100］．则1≤3p≤100且1≤p≤25．∴它们共有25个相同的项．4．已知公差不为0的等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=20，a1，a2，a4成等比数列，求集合A={x|x=an，n∈N*且100