点差法求解中点弦问题.docx

点差法求解中点弦问题【定理1】在椭圆(>>0)中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是 弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N 两点的坐标分别为、，则有，得又【定理2】在双曲线(>0, >0)中，若直线与双曲线相交于M、N两 点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，贝U、证明： 设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又【定理3】在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN 的中点，弦MN所在的直线的斜率为，贝U、证明：设M、N两点的 坐标分别为、，则有，得又、、注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点；(2)直线的斜率存在、一、椭圆1、过椭圆+ = 1内一点P(2,l)作一条直线交椭圆于A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程.【解】法一：如图，设所求直线的方程为y — l=k(x—2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+l)x2—8(2k2—k)x+4(2k—1)2—16 = 0,(*)又设直线与椭圆的交点为A(xl, yl), B(x2, y2),则x1、 x2是(*)方程的两个根，・・・xl + x2=、TP为弦AB的中 点，.•・2 ==、解得k= —，•:所求直线的方程为x + 2y — 4 = 0、 法二：设直线与椭圆交点为A(xl, yl), B(x2, y2), TP为弦AB 的中点,・・・xl+x2=4, yl + y2 = 2、又TA、B 在椭圆上,.\x+4y=16, x + 4y =16、两式相减，得(x —x)+4 (y — y) =0,即(xl+ x2) (xl —x2) +4(yl + y2) (yl—y2) =0> /. = = — ,即 kAB=_、•:所求直线方 程为 y —1 = — (x —2),即 x+2y—4 = 0、2、 已知椭圆+二1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.【解答】解：设 P (x, y) , A (xl, yl) , B (x2, y2)・ TP 为弦 AB 的中点,・・・xl+x2二2x, yl+y2二2y・则+二1,①+二1,②②-①得,二 -・・・・-二3,整理得：x+y二0.由，解得x二所求轨迹方程为： x+y二0. ( - b>0),则a2-b2二50①又设直线3x - y -2=0与椭圆交点为A (xl, yl) , B (x2, y2),弦AB中点 (xO, yO) TxO二，・・・代入直线方程得y0二- 2二-，由，得,AAB 的斜率k二二-•二-•二3：•二-1,・・・“2二3b2②联解①②，可得 a2=75, b2二25,・・・椭圆的方程为:二1故答案为:=1.4、例1 （09年四川）已知椭圆（>>0）的左、右焦点分别 为、，离心率，右准线方程为、（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程、 解：（I ）根据题意，得、所求的椭圆方程为、（II）椭圆的焦 点为、、设直线被椭圆所截的弦MN的中点为、由平行四边形法 则知：、由得：、①若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重 合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在、由得：②②代入①， 得整理，得：、解之得：，或、由②可知，不合题意、，从而、 所求的直线方程为，或、6、 6%秋・工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点M,则点的坐标为■【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（xl, yl） , （x2, y2）,则，两式相减，得二0, （yl - y2） （yl+y2）二-3 （xl - x2）（xl+x2）,二-3,因为直线斜率为3,・••二3,・.•两交点中点在直线x二，xl+x2=l,・・・3二-31 （yl+y2）,・••二-・所以中点M坐标为（,一）・故答案为：（，一）・7、 如图，在中，，椭圆C：,以E、F为焦点且过点D,点0 为坐标原点。

I )求椭圆C的标准方程；(1［)若点K满足， 问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N 且，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由xyDEFO解：(I )略：,(II)分析：•・•，设MN的中点为 H,则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差 法”设，直线的斜率为(,则① ② 由①一②得： 又・・・， 则，・•・，从而解得，点在椭圆内，则且8、 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆 的中心、求证：直线和直线的斜率之积是定值、证明设且，则，(1), (2)得:,,、又，，(定值)、二、双曲线1、 过点P(4,l)的直线1与双曲线一y2 = l相交于A、B两点，且P为AB的中点，求1的方程.［解析］设 A(xl, yl), B(x2, y2),则一y=l, —y=l,两式相减得：(xl + x2) (xl-x2)-(yl + y2) (yl-y2)=0, TP 为 AB 中点，/.xl+x2 =& yl + y2 = 2、・・・=1,即所求直线1的斜率为1, /.I方程为y —l = x —4, 即 x —y —3 = 0、2、 设A、B是双曲线x2—= 1上的两点，点N(l,2)是线段AB的中 点，(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲 线交于C、D两点，那么A、B、C、 D四点是否共圆？为什么？［分析］要证明A、B、C、 D四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A、B、C、 D四点共圆，则TCD垂直平分AB,据圆的性质知，圆心在 直线CD上，•:CD中点M为圆心,只要证|AM| = |MB| = |CM| = |MD|即可.［解析］(1)依题意，可设直线AB方程为y = k(x—1) + 2,由得(2 — k2) x2 — 2k (2 — k) x— (2 — k2) —2 = 0①设 A(xl, yl), B(x2, y2), Vx1、x2是方程①的两个不同的实根，所以2 —k2H0、由韦达 定理得，xl + x2=、由N(l,2)是AB的中点得，=1、即k(2 —k) =2 — k2、解得k = 1,二直线AB的方程为y = x+l、(2)由得x2 — 2x-3 = 0,解得 xl = 3, x2= —1、・・・A(3,4), B(-l,0)・ TCD 是 线段AB的垂直平分线，所以CD所在直线方程为y= —x + 3、得 x2 + 6x—ll = 0、设 C(x3, y3), D(x4, y4), CD 的中点为 M(x0, yO).由韦达定理，得 x3 + x4 = —6, x3x4 =—11、从而 xO= (x3 + x4) =—3, yO=—x0+3=6、|CD| === =4, |cm| = |md|=2、t |ma| = |mb| ==2、A、B、C、 D四点到M的距离相等，所以A、B、C、 D四点共圆.3、已知双曲线的方程为x2—= 1、试问：是否存在被点 B(l,l)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在， 请说明理由.［分析］易判断出点B(l,l)在双曲线的外部，不妨 假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左 右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90、［解析］解法一：设被B(l,l)所平分的弦所在的直线方 程为y = k(x—1)+1,代入双曲线方程x2— = 1,得(k2 —2)x2 — 2k(k—1)x + k2 — 2k + 3 = 0、A =［ — 2k(k—1) ］2—4(k2 — 2) (k2 —2k+3)>0、解得k<,且xl+x2 =、・・・B(1,1)是弦的中点,・・= 1,・・・k = 2>、故不存在被点B(l,l)所平分的弦.解法二：设存在 被点 B 平分的弦 MN,设 M(xl, yl)、N(x2, y2)・则 xl + x2 = 2, yl + y2 = 2,且①一②得(xl+x2) (xl—x2) — (yl + y2) (yl —y2)= 0、・・・kMN==2,故直线MN： y-l = 2(x-l)・由消去y得，2x2- 4x + 3 = 0, A=—8〈0、这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在.［点评］由本题可以看到：如果点B在双曲线 的内部，则以该点为中点的弦一定存在.如果点B在双曲线的外 部，则以该点为中点的弦有可能不存在.因此，点B在内部无需 检验，点B在外部必须检验.关于双曲线内部、外部，请看图， 双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分 为双曲线外部.4、 设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦 点，抛物线的准线为双曲线的右准线.（I ）试求双曲线C的方 程；（II）设直线与双曲线交于两点，求；（III）对于直线， 是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线（为常数） 对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由.解：（I ）由 得，，抛物线的顶点是，准线是、在双曲线C中，、双曲线C 的方程为、（II）由得：、设，贝!1、、 （III）假设存在这样的实 数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平 分线、因而，从而、设线段AB的中点为、由得：，、①由 得：、②，由①、②得：、由得：，、又由得：直线与双曲线C相 交于A、B两点，＞0,即V6,且、符合题意的的值存在，、5、三、抛物线1・在抛物线y2 = 8x中，以仃，一1）为中点的弦 所在直线的方程是（)A・ x—4y —3 = 0B・ x + 4y + 3 = 0 C・ 4x + y —3 = 0 D. 4x + y + 3 = 0［答案］C,［解析］设弦两端点为 A(xl, yl), B(x2, y2),则 yl + y2 = —2、・・・A、B在抛物线上，・・・y = 8xl, y = 8x2,两式相减得，(yl + y2) (yl-y2)=8(xl-x2), ?. = -4,二直线 AB 方程为 y +1 = - 4(x-l),即 4x + y —3 = 0、2.若点(3,1)是抛物线 y2 = 2px 的一 条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2,则》= 、［答案］2［解析］设弦两端点 Pl(xl, yl), P2(x2, y2), Vyl + y2 = 2, ・・・p=2、3.过点Q(4,l)作抛物线y2 = 8x的弦AB,恰被Q 所平分，求弦AB所在的直线方程.［答案］4x-y-15 = 0［解析］ 解法一:设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(xl, yl)、B(x2, y2),则有 y = 8x1,①y = 8x2,② xl+x2 = 8, yl + y2 = 2、③ ① —②，得(yl + y2) (yl —y2) =8(x1—x2).④将③代入④得 yl —y2 = 4(xl-x2),即4=,・・・k=4、・・・所求弦AB所在直线方程为y — l=4(x—4),即 4x—y—15 = 0、4、(2004*福建)如图，P是抛物线C： y二x2上一点，直线 1过点P且与抛物线C交于另一点Q・(I )若直线1与过点P的 切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；(II )若直线1不过原 点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.【分析】(1)设M (x0, y0),欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标 的关系，可通过另外两点P, Q与中点M的关系结合中点坐标公式 求解，(2。