专题04立体几何综合（解析版）-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编.doc

1 专题专题 4、立体几何综合立体几何综合 【2021 年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 1. 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM （1）求BC； （2）求二面角APMB的正弦值 【答案】 （1）2； （2）7014 【解析】 【分析】（1） 以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设2BCa，由已知条件得出0PB AM，求出a的值，即可得出BC的长； （2）求出平面PAM、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】 （1）PD 平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz， 2 设2BCa，则0,0,0D、0,0,1P、2 ,1,0Ba、,1,0M a、2 ,0,0Aa， 则2 ,1, 1PBa，,1,0AMa ， PBAM，则2210PB AMa ，解得22a ，故22BCa； （2）设平面PAM法向量为111,mx y z，则2,1,02AM ，2,0,1AP ， 由111120220m AMxym APxz ，取12x ，可得2,1,2m ， 设平面PBM的法向量为222,nx y z，2,0,02BM ，2, 1,1BP ， 由222220220n BMxn BPxyz ，取21y ，可得0,1,1n r， 33 14cos,1472m nm nmn， 所以，270sin,1 cos,14m nm n ， 因此，二面角APMB的正弦值为7014. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可） ； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 【2021 年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 2. 已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点11BFAB 3 （1）证明：BFDE； （2）当1B D为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 【答案】 （1）见解析； （2）112B D 【解析】 【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案 【详解】因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1BB 底面ABC，所以1BBAB 因为11/A BAB，11BFAB，所以BFAB， 又1BBBFB，所以AB 平面11BCC B 所以1,BA BC BB两两垂直 以B为坐标原点，分别以1,BA BC BB所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图 4 所以1110,0,0 ,2,0,0 ,0,2,0 ,0,0,2 ,2,0,2 ,0,2,2BACBAC， 1,1,0 ,0,2,1EF 由题设,0,2D a（02a） （1）因为0,2,1 ,1,1, 2BFDEa， 所以012 1 120BF DEa ，所以BFDE （2）设平面DFE的法向量为, ,mx y z， 因为1,1,1 ,1,1, 2EFDEa ， 所以00m EFm DE，即0120 xyza xyz 令2za，则3,1,2maa 因为平面11BCC B的法向量为2,0,0BA， 设平面11BCC B与平面DEF的二面角的平面角为， 则2263cos222142214m BAmBAaaaa 当12a 时，2224aa取最小值为272， 此时cos取最大值为363272 所以2min63sin133， 此时112B D 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出,0,2D a（02a） ，在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步 【2021 年新课标年新课标 1 卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 3. 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O为BD的中点. 5 （1）证明：OACD； （2） 若O C D是边长为 1的等边三角形， 点E在棱AD上，2DEEA， 且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积. 【答案】(1)详见解析(2) 36 【解析】 分析】 （1）根据面面垂直性质定理得 AO平面 BCD，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】 （1）因为 AB=AD,O为 BD 中点，所以 AOBD 因为平面 ABD平面 BCD=BD,平面 ABD平面 BCD，AO平面 ABD， 因此 AO平面 BCD， 因为CD平面 BCD，所以 AOCD (2)作 EFBD 于 F, 作 FMBC于 M,连 FM 因为 AO平面 BCD，所以 AOBD, AOCD 所以 EFBD, EFCD, BDCDD,因此 EF平面 BCD，即 EFBC 因为 FMBC，FMEFFI,所以 BC平面 EFM，即 BCMF 则EMF为二面角 E- BC- D的平面角, 4EMF 因为BOOD,OCD为正三角形,所以OCD为直角三角形 因为2BEED,1112(1)2233FMBF 从而 EF=FM=213AO 6 AOQ平面 BCD, 所以11131133326BCDVAO S 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 【2021 年浙江卷】年浙江卷】 4. 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是平行四边形，120 ,1,4,15ABCABBCPA， M，N分别为,BC PC的中点，,PDDC PMMD. （1）证明：ABPM； （2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2）156 【解析】 【分析】 （1）要证ABPM，可证DCPM，由题意可得，PDDC，易证DMDC，从而DC 平面PDM，即有DCPM，从而得证； （2）取AD中点E，根据题意可知，,ME DM PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出 7 【详解】 （1）在DCM中，1DC ，2CM ，60DCM，由余弦定理可得3DM ， 所以222DMDCCM，DMDC由题意DCPD且PDDMD，DC平面PDM，而PM 平面PDM，所以DCPM，又/ABDC，所以ABPM （2）由PMMD，ABPM，而AB与DM相交，所以PM 平面ABCD，因为7AM ，所以2 2PM ，取AD中点E，连接ME，则,ME DM PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则(3,2,0), (0,0,2 2),( 3,0,0)APD,(0,0,0),( 3, 1,0)MC 又N为PC中点，所以313 35, 2 , 22222NAN. 由（1）得CD平面PDM，所以平面PDM的一个法向量(0,1,0)n 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为5|152sin6|2725244AN nAN n 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明ABPM，可以考虑DCPM， 题中与DC有垂直关系的直线较多，易证DC 平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出 【2020 年】年】 5.（2020 新课标新课标）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AEADABC是底 8 面的内接正三角形，P 为DO上一点，66PODO （1）证明：PA 平面PBC； （2）求二面角BPCE的余弦值 【答案】 （1）证明见解析；（2）2 55. 【解析】 （1）由题设，知DAE为等边三角形，设1AE ， 则32DO ，1122COBOAE，所以6264PODO， 222266,44PCPOOCPBPOOB 又ABC为等边三角形，则2sin60BAOA，所以32BA ， 22234PAPBAB，则90APB，所以PAPB， 同理PAPC，又PCPBP，所以PA 平面PBC； （2） 过 O 作ONBC 交 AB 于点 N，因为PO平面ABC，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则121313(,0,0), (0,0,), (,0), (,0)244444EPBC， 132(,)444PC ，132(,)444PB ，12(,0,)24PE ， 设平面PCB的一个法向量为111( ,)nx y z， 由00n PCn PB ，得111111320320 xyzxyz，令12x ，得111,0zy ， 所以( 2,0, 1)n ， 设平面PCE的一个法向量为222(,)mxy z 由00m PCm PE，得22222320220 xyzxz，令21x ，得2232,3zy ， 所以3(1,2)3m 故2 22 5cos,5| |1033n mm nnm， 9 设二面角BPCE的大小为，则2 5cos5. 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题. 6. （2020 新课标） 如图，已知三棱柱ABC- A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F. （1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F； （2）设 O 为 A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析；（2）1010. 【解析】 （1）,M N分别为BC，11BC的中点， 1/MN BB 又11/ /AABB 1/MN AA 在ABC中，M为BC中点，则BCAM 又侧面11BBCC为矩形， 1BCBB 1/MN BB MNBC 由MNAMM，,MN AM 平面1A AMN BC平面1A AMN 又11/BCBC，且11BC 平面ABC，BC 平面ABC， 11/BC平面ABC 又11BC 平面11EBC F，且平面11EBC F 平面ABCEF 11/ /BCEF /EF BC 又BC 平面1A AMN EF 平面1A AMN EF 平面11EBC F 平面11EBC F平面1A AMN （2）连接NP /AO平面11EBC F，平面AONP平面11EBC FNP /AO NP 根据三棱柱上下底面平行， 其面1ANMA平面ABCAM，面1ANMA平面1111ABCAN 10 /ON AP 故：四边形ONPA是平行四边形 设ABC边长是6m(0m) 可得：ONAP，6NPAOABm O为111A B C的中心，且111A B C边长为6m 16 sin6033ONm 故：3ONAPm /EF BC A PE PA MB M 333 3EP 解得：EPm 在11BC截取1BQEPm，故2QNm 1BQEP且1/BQ EP 四边形1BQPE是平行四边形， 1/B E PQ 由（1）11BC 平面1A AMN 故QPN为1B E与平面1A AMN所成角 在RtQPN，根据勾股定理可得：2222262 10PNPNmmm 2。