第二章 流体静力学.doc

第二章 流体静力学内容：研究流体处于静止状态下的平衡规律及实际应用前面讲过，流体静止时，质点间无相对运动， ，故不存在切应力，质点间的0,duy相互作用通过压强 表现出来p1.23.点 压 强 及 特 性 （ 点 ）具 体 作 用 于 平 面 、 曲 面 上 的 压 力 （ 面 ）浮 体 平 衡 与 稳 定 （ 体 ）方法：连续介质假定2-1 静压力及其特性一 静压力1 总压力平衡流体内部相邻两部分之间的相互作用力或者流体对固体壁面的作用力，单位是 或者N，用大写字母 表示kNP2 静压力在静止的流体中任取一点 m，围绕 m 点取一微小面积 ，外法线方向为 ，作用在该面An积上的总压力为 ，将 与 的比值定义为平均压强，平均压强的极限定义为静压力A或静水压强，用小写的字母 表示，压强的单位为 （ 2）pPa/Nm平均压强： pA点压强： 0lim单位： 2,NPa二 静压力的特性1 沿受压面的内法线方向证明：（1） 反证法：静止流体中，以 N-N 平面将其切为两部分，取下部分为研究对象在 N-N 平面任取一点 A，假设其所受静压力 p 为任意方向，则 p 可分解为法向应力与切向应力 。

由牛内定律， 将使液层间存在 ，使其相对运动，这与npp duy静止流体矛盾，故 ；若 沿外法线方向，则将使液体受到拉力作用，这又与0np流体不能受拉力矛盾故 p 只能是压应力即 p 沿作用面的内法线方向2） 静止液体， ，只有法向力液体不能承受拉应力故 p 只能是压应力2 作用在同一点各方向的静压力大小相等，即 p 与作用面方位无关证明：在静止流体中任取一点 O，建立直角坐标系在三坐标轴上任取 A, B, C 三点，构成微小四面体 OABC，棱长分别为 ，斜面 ABC 的面积为 分析一下四面体所受的力,dxyzdA作用在各面上的表面力： 1..2xxPpdAyz1..2yyPpdAxdz..zzynpd质量力（假定 X,Y,Z 为单位质量力在三个坐标轴上的分量）11....3261.6.xyzFXMVXdyzxXdyzYdyzZx由力的平衡条件：合力为 0X 方向： .cos(,)11(,).026.03xnxnxPFpdyzAXdxyzX当四面体 ， ，则OBC点 0dxxnp同理： ，,ynznppxyz所以，在静止的液体中各方向的静水压强大小相等。

2-2 液体平衡微分方程及其积分一 微分方程的形式为了研究静水压强的分布规律，首先推导一下液体处于静止状态的平衡微分方程在静止液体中取一微小六面体各边长分别为 ，中心为 ，平面 与,dxyz'o'AB的中点分别为 'DC,MN作用在平衡六面体上的力有表面力和质量力表面力：设 处的静水压强为 ，根据液体连续性的假定，它应是坐标的连续函数，'(,)oxyzp即 用泰勒级数展开得 M 和 N 点的压强为：,pX 向：12MNpdx 上式忽略了级数展开后的高级微量由于是微小六面体，可认为平面各点的压强相等则上面两个面上的压力为：1.2.MNpPpdyzdxyz左右质量力：X 向 ..Xdxydz由液体的平衡条件：X 向有 .0PXM左 右11()().22ppdxyzdxyzdxyz0于是有 1pXx同理： （2.2）0Yy1pZz上式即为液体平衡微分方程它指出液体处于平衡状态时，单位质量液体所受的表面力与质量力彼此相等该方程由欧拉提出，又称为欧拉平衡微分方程。

将式（2.2）中各式依次乘以 ，然后相加，得出,dxyz.ppdxyzXYZ等式的左边是 的全微分，于是（2.3）.dpXxYdyZz上式即为液体平衡微分方程的综合式当质量力已知时，积分可求出压强 的具体表达式p二 等压面特性、力势函数和有势力1 有势力对于不可压缩液体， ，故（2.3）式的右端也应是某一个力势函数 的tancos ,Wxy全微分，即：dWXxYdyZz又 Wdz由此得 （2.5）YZxy满足式（2.5）的质量力为有势力，如重力，惯性力可见，只有在有势力作用下，不可压缩液体才能处于平衡状态由（2. 3）和（2.5）得： （2. 6）dpW积分得： （2. 7）pWC由已知边界条件确定，式（2. 7）即为不可压缩液体平衡微分方程的积分式已知力势函C数 W压 强 p的 分 布但在实际问题中，力势函数 的一般表达式并非直接给出，因而实际计算压强分布时，应用式（2. 3）更为方便2 等压面定义：压强相等的点组成的面（平面，曲面）称等压面。

如液体与气体的交界面（自由表面） ，处于平衡状态的两种液体的交界面都是等压面等压面上， ， ，由（2.3）得等压面方程为pconst0dp（2.4）XdxYyZz由此得等压面的性质：（1） 等压面 等势面由（2.6）式知， ，所以等压面上各点的力势函0dpW数 也是常数W（2） 等压面与质量力正交设单位质量力 ，它与等压面上任意微小位移 的点积为fXiYjZk dsxiyjdzk..0fdsijkdxiyjzxyz而质量力 与位移 都不为 0，故质量力与等压面正交质量力为重力时，等压面为水平fs面2-4 重力作用下静水压强的分布规律一 水静力学的基本方程如图，均匀连续液体表面压强为 ，质量力只有重力作用时：0p0,XYZg由式（2. 3）得： dpxdyzdz积分得： 'gC式中 为积分常数等式两边同除以 得, g（2.10）pzg上式为重力作用下的水静力学基本方程 由边界条件定在液体表面处C000,,pzCzg所以： 00()p由图知， ，所以 （2.11）0zh0pgh为 A 点的水深，水深为水面下的深度h由水静力学基本方程（2.10）和（2.11）可得均匀连续介质静水压强的一些性质:（1） 等压面即为水平面1212pz（2） 位置较低点的压强大于位置较高点的压强1212zp（3） ， 由两部分组成：表面压强 ；重力产生的压强0pgh0pgh换句话，表面压强 可向液体内部任何地方传递——帕斯卡定律0p等压面的一些问题二 一些概念1 绝对压强、相对压强、真空度绝对压强：以物理上绝对真空状态下的压强为零点计量的压强，记 absp相对压强：以当地大气压强 作为零点计量的压强，记ap（2.3.4）00abs aaphph由于实际工程中建筑物表面和自由液面的压强 一般等于大气压强 ，故0 aph实际上，对建筑物起作用的压强仅是相对压强，以后所讨论的压强一般指相对压强 p真空压强 ： ，若液体中某点的绝对压强小于当地大气压强时， ，称为vpabsp 0负压，负压得绝对值称为真空压强，记为 vpvabsabspp真空度：真空压强用水柱高度表示，称为真空度，记 vhvabsphm水 柱标准大气压： 5217601.30(/)gHNm标（工程大气压： ）4217359.810910pmHgPakmHO工三者关系，可用图表示absvp2 位置水头，压强水头，测压管水头水静力学基本方程 pzC意义：重力作用下，静止液体内各点的 为常数。

pzDim[z]=L, dim[ ]= =Lp23dimiFL所以 di()z三 静水压强图示（相对压强）由水静力学基本方程 及静水压强特性绘压强分布图（大小、分布）ph简单起见，在液体中任取铅直璧面 AB设横坐标 p，纵坐标 h，由于 p、h 成线性关系，任取两点的 p、h，连成直线即得的图示h若受压面为斜面、折面以及曲面，同样可绘出压强分布图根据1.23.pp沿 受 压 面 内 法 线 方 向同 一 点 各 方 向 相 等2-4 压强的量测测量压强的仪器种类很多，主要是在压强的量程大小和计量精度上有差别按作用原理来分有液柱式压力计和金属压力表；按所测压强是高于还是低于大气压强分压力表和真空表一 液注式压力计由液柱高度或高差来测压强的大小1 测压管：直接用同种液体的液柱高度测压强测压管是两端开口的玻璃管，上端与大气相通，下端与被测液体相连由于液体相对压强的作用，使测压管液面上升 高度，则被测点压强为AhAph若被测点的压强较小，可使用倾斜测压管测压管通常用来测量较小的压强，如当相对压强大于 0.2 工程大气压时，对水则需要两米以上高度的测压管，使用不方便，故在工程中可采用重度较大的液体（如水银）作为量测介质。

2 U 形压力计为一 U 形管，内装与被测液体不相混的其他液体，根据 U 形管内液面的位置应用等压面原理可求出被测点的压强如求 A 点的压强， Ampphmph3 压差计（比压计）用于测量任意两点的测压管水头差或压强差如图水银压差计，弯管内装水银，两端与被测点 A,B 相连M-M 为等压面 1ApBmpmABppzhzhzzh若 U 形管中为水银，则 12.6ABpzzh由压差计上直接读出，压差计反映的是测压管水头差ph若求压强差， 12.612.6ABpBAphzhz若所测压差很小，则可采用空气或较轻液体代替水银，但这时 U 形管要倒置，或倾斜安置压差计，以提高精度二 压力表、真空表（金属压力表）前面介绍的几种液柱式压力计，虽然精度较高，但量测范围小，携带不方便，故主要用于实验室中，工程中测较大的压强常用金属压力表如图，压力表内是一端开口、一端封闭的镰刀形黄铜管开口端 被测液体点，封闭端 细链和齿轮连接，度盘 显示压强值， 2kNmPa测相对压强：测压时，黄铜管在 p 作用下，发生伸展，齿轮便带动指针移动，度盘显示 p 值。

真空表——测量真空压强，单位 2,a例：2-1（p35）已知：水银压力计液面差 为 0.03m，其他如图3h求：（1）压力表 G 读数为多少？（2）A,B,C 三点压强水头是否相等？为什么？（3）A,B,C 三点测压管水头是否相等？为什么？（4）A,B,C 三管水面位置如何？解：（1）忽略气体密度，2，3 处液面压强相等，由等压面原理 123 209.8160.3.98/mphkNm压力表读数为-3.998 2/kN（2）不等 01 23.0.6.148()98AphHO012 2.09.4().CB m（3）均质连续液体静止时 ，以 B,C 所在平面为基准面pzC,()0.19480.2()AABCppzz（4）A,B 两管与大气相通，液面高度 ，C 管与液面相通，与容器液面齐平.4hm2-5 作用在平面上的静水总压力前面介绍了重力作用下静水压强的分布规律及量测方法但在工程实践中，不仅仅要知道液体中某一点静水压强的大小、方向及分布规律，更主要的要确定一些建筑物（水池、水箱、水闸、水坝、路基）上所受的总作用力这一章求平面上的静水总压力方法有：解析法、图算法一 解析法力的三要素——大小、方向、作用点如图，设水中任意形状平面 AB。

面积为 A，它与水平面夹角为 ，水面作用有大气压强 由于 AB 左右两侧aP均有大气压强作用，故只计算相对压强所引起的静水总压力 取坐标系 oxy， 纸面，为方便将 ABox面旋转 ，AB 面形心为 ，其在水面下09C深度为 ch在 AB 平面内任取一微小面积 ，其中心点在水面下的深度为 作用在 。