小学奥数：3-1-3 多人相遇和追及问题.教师版.pdf

多人相遇和追及问题多人相遇和追及问题 教学教学目目标标 1. 能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用 2. 根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图 3. 能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题 知识精讲知识精讲 二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3 个或 3 个以上的对象之间的相遇追及问题 所有行程问题都是围绕“路程速度 时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程 题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化由此还可以得到如下两条关系式： 路程和速度和 相遇时间； 路程差速度差 追及时间； 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可 迎刃而解 例题精讲例题精讲 板块一、多人从两端出发相遇、追及 【例【例 1】 有甲、乙、丙有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走米，丙每分钟走 75 米现在甲从东村， 乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 米现在甲从东村， 乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6 分钟后，甲又与丙相遇分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、 西两村之间的距离是多少米 那么，东、 西两村之间的距离是多少米? 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】甲、丙 6 分钟相遇的路程：1007561050(米)； 甲、乙相遇的时间为：10508075210(分钟)； 东、西两村之间的距离为：1008021037800(米). 【答案】37800米 【巩固】 一条环形跑道长【巩固】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地 同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 米，两人同时从同地 同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答 【解析】4004502502（）(分钟) 【答案】2分钟 【例【例2】 在公路上，汽车在公路上，汽车A、B、C 分别以分别以80km / h ，70km / h ，50km / h 的速度匀速行驶，若汽车的速度匀速行驶，若汽车 A从 甲站开往乙站的同时，汽车 从 甲站开往乙站的同时，汽车 B 、C 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车从乙站开往甲站，并且在途中，汽车 A在与汽车在与汽车 B 相遇后的 两小时又与汽车 相遇后的 两小时又与汽车C 相遇，求甲、乙两站相距多少千米？相遇，求甲、乙两站相距多少千米？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【关键词】四中，入学测试 【解析】汽车A在与汽车B相遇时，汽车A与汽车C的距离为：(8050)2260千米，此时汽车B与汽 车C的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了260(7050)13小时，那么甲、乙两站的 距离为：(8070) 131950千米 【答案】1950千米 【巩固】【巩固】甲、乙、丙三人每分分别行甲、乙、丙三人每分分别行 60 米、米、50 米和米和 40 米，甲从米，甲从 B 地、乙和丙从地、乙和丙从 A 地同时出发相向而行， 途中甲遇到乙后 地同时出发相向而行， 途中甲遇到乙后 15 分又遇到丙求分又遇到丙求 A，B 两地的距离两地的距离 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为： （6040）15 1500（米） ，而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500（50-40）=150（分） ，即从出发到甲与乙 相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为： （60+50）15016500（米） 【答案】16500米 【巩固】【巩固】小轿车、面包车和大客车的速度分别为小轿车、面包车和大客车的速度分别为 60 千米时、千米时、48 千米时和千米时和 42 千米时，小轿车和大 客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后 千米时，小轿车和大 客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后 30 分又遇到大客车。

问：甲、 乙两地相距多远？ 分又遇到大客车问：甲、 乙两地相距多远？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】270千米提示：先求出面包车与小轿车相遇时，大客车与小轿车的距离（相遇问题） ，再求出从 出发到面包车与小轿车相遇经过的时间（追及问题） ，最后求甲、乙两地的距离（相遇问题） 【答案】270千米 【巩固】【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走米，丙每分钟走 75 米，甲乙从东镇 去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 米，甲乙从东镇 去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，求东西两 镇间的路程有多少米？ 分钟与甲相遇，求东西两 镇间的路程有多少米？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程 差所以乙丙相遇时间=270（67.5-60）=36分钟，所以路程=36（67.5+75）=5130米 【答案】5130米 【巩固】【巩固】小王的步行速度是小王的步行速度是 4.8 千米千米/小时，小张的步行速度是小时，小张的步行速度是 5.4 千米千米/小时，他们两人从甲地到乙地去小时，他们两人从甲地到乙地去. 小李骑自行车的速度是小李骑自行车的速度是 10.8 千米千米/小时，从乙地到甲地去小时，从乙地到甲地去.他们他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇 后 人同时出发，在小张与小李相遇 后 5 分钟，小王又与小李相遇分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】画一张示意图： 张李王 乙甲BA 图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5 分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离： 5 4.810.81.3 60 （千米） ，这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是 （5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：1.3（5.4-4.8）60=130（分钟）.这 也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍. 因此小李从A到甲地需要：1302=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是：13065=195（分钟） 3小时15分.小李从乙地到甲地需要3小时15分. 【答案】3小时15分 【巩固】【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走米，乙每分钟走65米，丙每分钟走米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去 西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 米，甲乙从东镇去 西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇 间的路程有多少米？ 分钟与甲相遇，求东西两镇 间的路程有多少米？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）1=130米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程 差所以乙丙相遇时间=130（65-60）=26分钟，所以路程=26（65+70）=3510米。

【答案】3510米 【巩固】【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走50米，乙每分钟走米，乙每分钟走60米，丙每分钟走米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去 西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 米，甲乙从东镇去 西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇 间的路程有多少米？ 分钟与甲相遇，求东西两镇 间的路程有多少米？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）2=260米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程 差所以乙丙相遇时间=260（60-50）=26分钟，所以路程=26（60+70）=3380米 【答案】3380米 【巩固】【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走80米，乙每分钟走米，乙每分钟走90米，丙每分钟走米，丙每分钟走100米，甲乙从东镇 去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 米，甲乙从东镇 去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过5分钟与甲相遇，求东西两 镇间的路程有多少米？ 分钟与甲相遇，求东西两 镇间的路程有多少米？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】那5分钟是甲和丙相遇，所以距离是（90+100）5=950米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路 程差。

所以乙丙相遇时间=950（90-80）=95分钟，所以路程=95（90+100）=18050米 【答案】18050米 【巩固】【巩固】小王的步行速度是小王的步行速度是5千米千米/小时，小张的步行速度是小时，小张的步行速度是6千米千米/小时，他们两人从甲地到乙地去小时，他们两人从甲地到乙地去.小李 骑自行车的速度是 小李 骑自行车的速度是10千米千米/小时，从乙地到甲地去小时，从乙地到甲地去.他们他们3人同时出发，在小张与小李相遇后人同时出发，在小张与小李相遇后30 分钟，小王又与小李相遇分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】30分钟是小王和小李相遇，所以距离是 1 5+10=7.5 2 （）千米，这距离是小王和小李相遇时间里小 张和小王的路程差 所以小李和小张相遇时间=7.5（6-5）=7.5小时， 所以路程=7.5（6+10）=120 千米12010=12（小时） 【答案】12小时 【巩固】【巩固】甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟 480、540、720 米，甲、乙、丙米，甲、乙、丙 3 人同时动身， 甲、乙二人从 人同时动身， 甲、乙二人从A地出发，向地出发，向B地行时，丙从地行时，丙从B地出发向地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，地行进，丙首先在途中与乙相遇，3 分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙 3 人行完全程各用多长时间？人行完全程各用多长时间？ 【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答 【解析】方法一：乙与丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行3分钟的时间，这段距离为 48072033600（ 米 ），360054048060（ 分 ），A、B之 间 的 距 离 为 7205406075600（米） ，行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下： 甲75600480157.5()分 乙75600540140()分 丙75600720105()分 方法二：丙与乙相遇时，各行了480720354048060 （分） ，速度与时间成反比，所 以，丙行完全程需要 540 6060105 720 （分） ；乙行完全程需要 720 105157.5 480 （分）. 方 法 三 ： 丙 与 乙 相 遇 时 ， 乙 比 甲 多 行 了72048033600（ 米 ） ； 丙 比 甲 多 行 了 720480 360014400 540480 （米） ，所以A地与B地之间的距离为 480540480236001440075600（米）. 行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下： 甲75600480157.5()分 乙75600540140()分 丙75600720105()分 【答案】甲157.5分；乙。