2021年导数应用：含参函数的单调性讨论教师版.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - ---导数应用：含参函数的单调性争论老师版一.思想方法：f ( x)0xAB...f ( x)增区间为 A、 B和...f ( x)0xCD...f ( x)增区间为 C、 D和...x D时fx D时fx D时f( x) 0( x) 0( x) 0f (x)在区间 D上为增函数f (x)在区间 D上为减函数f (x)在区间 D上为常函数争论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的争论；二.典例讲解a例 1 争论f (x)x 的单调性，求其单调区间xa解： f ( x)x 的定义域为 ( x、0)(0、 )f ( x)a1 x 2x 2 ax 2 ( x 0)(它与g ( x)x2 a 同号 )I 〕当 a0 时，f ( x)0( x0) 恒成立，此时 f ( x) 在 (、0) 和 (0、) 都为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为 ( 、0) 和 (0、 ) ;II) 当 a 0 时f (x)0( x 0) xa或x af ( x)0(x 0)a x 0或0 x a此时 f( x) 在 (、 a )和 ( a、) 都为单调增函数，f ( x) 在 ( a、0) 和 (0、 a) 都为单调减函数，即 f (x) 的增区间为 ( 、 a ) 和 ( a 、 ) ;f ( x) 的减区间为( a、0) 和 (0、a) ) .步骤小结： 1.先求函数的定义域，2.求导函数〔化为乘除分解式，便于争论正负〕 ，3.先争论只有一种单调区间的〔导函数同号的〕情形，4.再争论有增有减的情形〔导函数有正有负，以其零点分界〕 ，5.留意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并；变式练习 1 : 争论f ( x)x a lnx 的单调性，求其单调区间解 ： f(x)x a lnx 的定义域为(0、 )f ( x) 1 a xx a ( x 0) x(它与g ( x)x a 同号 )- - word.zl-第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -I 〕当 a0 时，f ( x)0( x--0) 恒成立，此时 f ( x) 在 (0、 ) 为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为(0、) ，不存在减区间 ;II) 当 a 0 时f ( x)0( x 0) x a ;f ( x)0(x 0)0 x a此时 f( x) 在 ( a 、) 为单调增函数，f ( x) 在(0、a) 为单调减函数，即 f (x) 的增区间为( a、) ; f( x) 的减区间为(0、a) .例 2．争论f ( x)ax ln x 的单调性解： f(x)ax ln x 的定义域为(0、 )f ( x) a 1 xax 1 (x x0) (它与g (x)ax 1 同号 )I ） 当 a0 时，f (x)0( x0) 恒成立 〔此时f ( x) 0 x1没有意义〕a此 时 f( x) 在 (0、) 为单调增函数，即f (x) 的增区间为(0、 )II ） 当 a0 时，f (x)0( x0) 恒成立，〔此时f ( x) 0 x1不在定义域，没有意义〕a此时 f ( x) 在 (0、) 为单调增函数，即1f ( x) 的增区间为(0、 )III) 当 a 0 时、 令f (x) 0 xa于为，当 x 变化时，f (x)、f (x) 的变化情形如下表： (结合 g(x)图象定号 )x (0、 1 ) 1 ( 1 、 )f ( x)a a a0f ( x)增↗ 减↘1 1所以， 此时f ( x) 在 (0、) 为单调增函数，a1f ( x) 在 ( 、 a1) 为单调减函数，即 f ( x) 的增区间为(0、) ; fa( x) 的减区间为 ( 、 ) .a小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界， 但要留意其定义域和连续性； 即先求出f ( x)的零点，再其分区间然后定f ( x)在相应区间的符号；一般先争论f ( x)0 无解情形，再争论解f (x) 0 过程产生增根的情形〔即解方程变形中诸如平方.去分母.去对数符号等把自变量 x 围扩大而显现有根，但根实际上不在定义域的〕 ，即依据f ( x) 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个- - word.zl-第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - ---数从少到多争论，最终区间〔最好结合导函数的图象〕确定相应单调性；变式练习 2. 争论1f (x)21 ax 22ln x 的单调性解 ： f(x) ax 2ln x 的定义域为(0、 )f ( x) ax 1xax 2x1 ( x0) 、 它与g( x)ax21同号 .令 f (x) 0ax 21 0( x0) ，1 a当 a 0 时，无解；当 a0 时、 xa(另一根不在定义域舍去 )ai)当 a0 时，f ( x)0( x0) 恒成立 〔此时f ( x) 0 x 21没有意义〕a此 时 f( x) 在 (0、) 为单调增函数，即f (x) 的增区间为(0、 )ii) 当 a0 时，f (x)0( x0) 恒成立，(此时 方程ax21 0 判别式 0 、方程无解 )此时 f( x) 在 (0、) 为单调增函数，即f ( x) 的增区间为(0、 )iii) 当 a 0 时、当 x 变化时，f ( x)、f (x) 的变化情形如下表： (结合 g(x)图象定号 )x (0、 1 ) 1 ( 1 、 )f ( x)a a a0f ( x)增↗ 减↘1 1所以， 此时f (x) 在 (0、) 为单调增函数，a1f ( x) 在 (1、 ) 为单调减函数，a即小结：f ( x) 的增区间为( 0、) ; fa( x) 的减区间为 (、 ) .a一般最终要综合争论情形，合并同类的，如 i)、ii) 可合并为一类结果；对于二次型函数〔如g( x)ax21〕争论正负一般先依据二次项系数分三种类型争论；例 3 设函数 f (x)＝1x3－3ax2＋ bx＋ c，曲线 y＝f (x)在点 (0， f(0))处的切线方程为 y＝ 1. 2(1)求 b， c 的值；(2)假设 a>0 ，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)＝ f (x)＋ 2x，且 g(x)在区间 (－2，－ 1)存在单调递减区间，数 a的取值围．- - word.zl-第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - ---解 (1)f′(x)＝ x2 － ax＋ b，由题意得f 0 ＝ 1，即f′ 0 ＝0，c＝1， b＝ 0.(2)由(1)得， f ′(x)＝x2－ ax＝x(x－ a)(a>0) ，当 x∈ ( －∞，0)时， f′(x)>0 ；当 x∈ (0 ，a)时， f′(x)<0 ；当 x∈(a，＋∞ ) 时，f ′(x)>0.所以函数 f (x)的单调递增区间为 (－∞， 0)， (a，＋∞ )，单调递减区间为 (0， a)． (3)g′(x)＝ x2－ ax＋ 2，依题意，存在 x∈ ( －2，－ 1)，使不等式 g′(x)＝ x2－ax＋ 2<0 成立，即 x∈ ( －2，－ 1)时， a<( x＋2)max＝－ 2 2，x当且仅当 x＝2即 x＝－ 2时等号成立．x所以满意要求的 a 的取值围为 (－∞，－ 2 2)． 引申探究：在本例 3(3)中，1．假设 g(x)在 (－ 2，－ 1)为减函数，如何求解？解 方法一 ∵ g′(x)＝ x2－ ax＋ 2，且 g(x)在 (－2，－ 1)为减函数，∴ g′(x) ≤ 0，即x2－ ax＋ 2≤0在 (－ 2，－ 1)恒成立，g′ － 2 ≤ 0，∴ 即g′ － 1 ≤ 0，4＋ 2a＋ 2≤ 0，1＋ a＋ 2≤ 0，解之得 a≤－ 3，即实数 a 的取值围为 (－∞，－ 3]． 方法二 ∵ g′(x)＝ x2－ ax＋ 2，由题意可得 g′(x) ≤0在 (－ 2，－ 1)上恒成立，即 a≤ x＋2在(－2，－ 1)上恒成立，x又 y＝ x＋2， x∈ ( －2，－ 1)的值域为 (－ 3，－ 2 2 ] ，x∴ a≤－ 3，∴实数 a 的取值围为 (－∞，－ 3]． 2．假设 g(x)的单调减区间为 (。