高等工程数学5Jordan标准形Win7课件.ppt

第二章 矩阵的相似化简,§1 方阵的相似对角化,§2 Jordan标准形,§3 凯莱-哈密顿定理和最小多项式,§1 Jordan 标准形,问题,分析：具有简单形式的矩阵,若方阵 A 不可对角化，那么在相似变换下， 的最简形式是什么？,,分块对角阵,上三角阵,分块对角阵,上三角分块对角阵,Jordan 标准形是一种最简结构的上三角分块对角阵.,,§1 Jordan 标准形,定义,为 Jordan 块.,称如下形式的 阶方阵,称,为子 Jordan 矩阵，其中各 为 Jordan 块.,§1 Jordan 标准形,称,为 Jordan矩阵，其中各 为子 Jordan 阵.,§1 Jordan 标准形,例 1,以上矩阵为 Jordan 块.,按上述定义指出下列矩阵的类型：,,以上矩阵为子 Jordan 阵.,以上矩阵为 Jordan 阵.,?,§1 Jordan 标准形,定义,若 阶方阵A相似于 Jordan 阵，即存在可逆阵P 使得,其中 为 Jordan 阵，则称 J 为 A的 Jordan 标准形.,问,任意方阵是否都存在 Jordan 标准形？,下面分析一个不可对角化的三阶方阵化 Jordan 标准形的问题.,§1 Jordan 标准形,例 2,设 ，特征值为 ，代数重数为3， 几何重数为2 .,例 3,§1 Jordan 标准形,一般地：,设 是A的任一特征值，代数重数为 ，几何重数为 ，则A 的 Jordan 标准形中对应一个如下的子Jordan 阵：,,,,,个基本 Jordan 块,主对角元均为,§1 Jordan 标准形,定理,设 的全部互异的特征值为 代数重数分别为 几何重数分别为,其中 是主对角元为 的 阶子 Jordan 阵，且包 含 个 Jordan 块,则A相似于一个 Jordan 阵，即存在可逆阵 使得,§1 Jordan 标准形,例 4,设,求可逆阵 P 使得为 为 Jordan 阵.,,怎样直接确定一个方阵的 Jordan 标准形？,§1 Jordan 标准形,设 阶方阵A 的 Jordan 标准形为,为基本 Jordan 块， 为 的几何重数,为A 的 个子 Jordan 阵,故确定 的 Jordan 标准形，关键是确定A的全部互异特征值和每个基本 Jordan 块,分析,§1 Jordan 标准形,阶方阵A的 k 级子式,,,,,,任 列,,,,,,,,,,,,称为A 的一个k 级子式,,§1 Jordan 标准形,定义,设 称 为A 的特征矩阵.,定义,阶方阵A 的特征矩阵 中所有非零的 级子式的首项系数为 1 的最大公因式称为 的一个 k 级行列式因子,也称为 的行列式因子,首项指多项式的最高次项，首项系数为1的多项式称为首一多项式,§1 Jordan 标准形,例 5,试求下列多项式的最大公因式,例 6,求 的1级、2级行列式因子.,§1 Jordan 标准形,从而,设 的 级行列式因子为,级子式可展开为一系列 级子式的代数和,是每个 级子式的因子,,定义,称下列 个多项式,为 的不变因子.,§1 Jordan 标准形,例 6,求 的行列式因子及不变因子.,§1 Jordan 标准形,问,怎样求方阵的行列式因子、不变因子？,① 互换 的任意两行或两列,下列运算称为 的初等变换：,② 用非零常数 乘 的某行或某列,③ 用多项式 乘 的某行或某列然后加到另一行或另一列,问,三种初等变换是否会改变行列式的值？,问,初等变换是否会改变行列式因子和不变因子？,行列式因子、初等因子在初等变换下是不变的.,定义,§1 Jordan 标准形,对 进行初等变换，可将 化为 Smith 标准形,②,问,各级行列式因子、不变因子等于什么？,级行列式因子：,级行列式因子：,级行列式因子：,……,各级不变因子为：,§1 Jordan 标准形,例 7,求 的行列式因子及不变因子.,方法：,对 进行初等变换，化为Smith标准形.,§1 Jordan 标准形,定义,将 的每个次数大于零的不变因子在复数域内分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂，称为的初等因子.,重复出现的项按次数计算,,§1 Jordan 标准形,例 8,,设 的不变因子为,,则 的全部初等因子为,,,,,,§1 Jordan 标准形,定理,,两个同阶方阵 相似的充要条件是 它们有相同的不变因子或初等因子。

构造具有相同初等因子的 Jordan 阵,求出方阵 的全部初等因子,则 即为 A 的 Jordan 标准形,求 的 Jordan 标准形的方法,,,,问题,初等因子与 Jordan 标准形有什么关系？,构造具有相同初等因子的 Jordan 阵,§1 Jordan 标准形,结论,阶Jordan块,初等因子为：,§1 Jordan 标准形,定理,,设 的全部初等因子为,其中 可能有相同的，指数 也可能有相同的.,对每个初等因子 构造一个 Jordan 块,则 的 Jordan 标准形为,§1 Jordan 标准形,例 9,求 Jordan标准形.,的全部初等因子为,的 Jordan 标准形为,§1 Jordan 标准形,,的 Jordan 标准形是否唯一？,若不计 Jordan 块的排列次序， 的 Jordan 标准形是由A 唯一确定的.,推论,阶方阵 A 可对角化的充要条件是 A的全部初等因子都是一次多项式§1 Jordan 标准形,例 10,设 ，求P，使得,为Jordan标准形.,A 的Jordan标准形为,§1 Jordan 标准形,,方阵的正交相似化简,,，可相似化简为 Jordan 标准形,若要求 为酉(正交)矩阵，最简结果是什么？,，存在酉矩阵 ，使得,其中 是 A 的 n个特征值.,(上三角阵),定理 (Schur定理),§1 Jordan 标准形,推论,若A 是 Hermite 阵，即 ，则存在酉矩阵U，使得,若 是 Hermite 阵，则 的特征值全为实数.,即 Hermite 阵必可酉(正交)相似对角化,特别若A是非负定(正定) Hermite 阵，则 A的特征值全为非负(正)实数.,推论,。