高中数学指数函数复习.docx

第二章 基本初等函数（I）课标单元知识1．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点2．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点3．知道指数函数 y = a x 与对数函数 y = log a x 互为反函数 (a > 0, a ¹ 1) .4．理解幂函数的概念，掌握几种简单的幂函数的图象和性质高考命题趋向在历届高考数学试题中以及各地的模拟试卷中，考查指数函数和对数函数方面的有关内容居多数，这些试题也同时考查了指数和对数方面的运算及性质，然而更多地将考查重点放在了指数函数、对数函数的相关性质以及与其他方面知识点的交汇地方，这一类试题出现在选择题、填空题时难度属于较易题，而出现在解答题中时一般难度较高，应认真对待。

对于幂函数的考查，多以选择题、填空题出现，属容易题2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算一、考点聚焦1．幂指数的扩充幂指数定义                 底数的取值范围a n = a • a • L • a(n Î N *)正整数指数零指数指数1 4 4 42 4 4 43n个a 0 = 1a Î Ra ¹ 0 且 a Î R负整数指数a -n =1a n(n Î N *)a ¹ 0 且 a Î R= a n çç且m, n互质 ÷ø正分数指数na mæ m, n Î N *, öm ÷èm 为奇数m 为偶数a Î Ra ³ 0ç ÷负分数指数 a- nm=1 æ m, n Î N *, öm a n è 且m, n互质 øm 为奇数a ¹ 0 且a Î Rm 为偶数a > 0无理数a p 是一个确定的实数（其中 p 为无理数）a > 02．分数指数幂的运算性质（1）有理数幂的运算性质有理数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样：a r • a s = a r+s ；(a r ) s = a rs ；(ab)r = a r br 。

式中 a > 0, b > 0, r, s Î Q.对于这三条性质，不要求证明，但须记准、记熟、会用、用活二、点击考点［考题 1］计算下列各式的值1） (3 (-5) ) 3 ；（2） 4 (-3) 4 ；（3） 4 (p - 3) 4 ；（4） (a + b) 2 + | b - a | + | 3 a 3 - 3 b3 | (a < b < 0) ；（5） x 2 - 2 x + 1 - x 2 + 6 x + 9 (| x |< 3).［解析］（1） (3 - 5) 3 = -5.（2） 4 (-3) 4 =| -3 |= 3.（3） 4 (p - 3) 4 =| p - 3 |= p - 3.（4）原式 =| a + b | + | b - a | + | a - b |= -(a + b) + (b - a) - (a - b) = -3a + b.（5）原式 = ( x - 1) 2 - ( x + 3) 2 =| x - 1| - | x + 3 | .∵ | x |< 3 ，∴ - 3 < x < 3.当 1 £ x < 3 时，原式 = ( x - 1) - ( x + 3) = -4 ；当 - 3 < x < 1 时，原式 = -( x - 1) - ( x + 3) = -2x - 2.［点评］当 n 为奇数时， n a n = a ；当 n 为偶数时， n a n =| a | 而不是 n a n = a ，这是大于易错的地方，请留心注意。

［考题 2］化简下列各式：（1） ( x -1 + x + x 0 )( x-121x 2-   ) ；（2）x -2 + y -22 2x - 3 + y - 3- x -2 - y -22 2x - 3 - y - 3；（3） (a 3 + a -3 )(a 3 - a -3 ) ¸ [(a 4 + a -4 + 1)(a - a -1 )].2 ) 3-  3［解析］（1）原式= ( x- 11- ( x 2 ) 3 = x2 -3x 2 .（2）原式=2 2( x- 3 )3 + ( y - 3 )32 2x- 3 + y - 32 2- ( x- 3 )3 - ( y - 3 )32 2x- 3 - y - 32 2 2 2 2 2 2 2= ( x - 3 )2 - x - 3 y - 3 + ( y - 3 )2 - [( x - 3 )2 + x - 3 y - 3 + ( y - 3 )2 ]4 2 4 2 4 4= x - 3 - ( xy) - 3 + y - 3 - ( xy) - 3 - y - 3 - x - 3= -2( xy)- 233 xy= -2    .xy=     (a 2 )3 - (a -2 )3（3）原式= [(a3 )2 - (a -3 )2 ] ¸ [(a 4 + a -4 + 1)(a - a -1 )](a 2 - a -2 )(a 4 + a -4 + 1)=(a 4 + a-4 + 1)(a - a -1) (a 4 + a -4 + 1)(a - a -1)=a 2 - (a -1)2a - a -1  = a + a -1.［点评］在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简。

还要注意平方差、立方和、立方差公式的应用［考题 3］判断下列命题的真假：（1） n a n = a(n Î N *) ；（3） a0 = 1 ；（2） m a n = (m a )n (m, n Î N *) ；2 1（4） a 4 = a 2 ；（5） a ma n = a m + n (m, n Î Q) （6） (a m )n = a mn (m, n Î Q)a a n（7） ( )n = (b ¹ 0, n Î Z ) ；b bn（8） a 的 n 次方次根是 n a (n Î N *) .［分析］判断命题的真假，主要考查命题成立的条件，因此，要对照有关的定义和性质，全面考虑定义和性质的特点，牢记使用范围，才能作出判断［ 解 析 ］（ 1 ） 中 是 开 方 问 题 ， 当 n 为 正 奇 数 时 ，n a n = a ； 当 n 为 正 偶 数 时 ，a n =| a |= í        因此（1）错误 a(a < 0),nìa(a ³ 0),î（2）中当 a ³ 0 时正确，当 a < 0 时不一定成立例如 (-1)2 = 1 ¹ ( -1)2.（3）中当 a ¹ 0 时正确，当 a = 0 时， 00无意义。

2 1（4）不成立，例如：取 a = -1 ，则 (-1) 4 = 4 (-1)2 = 1 ，但 (-1) 2 = - 1 无意义2 4（ 5 ） 只 有 a > 0 时 命 题 正 确 ， 当 a £ 0 时 命 题 不 一 定 成 立  例 如 ： (-2) 6 • (-2) 62 2= 64 2 4• 2 6 = 2 ，而 (-2) 6 + 6 =2      4-2 ，∴ (-2) 6 (-2) 6(-2) 2 4¹    6 + 6 ，本例题中的命题错误1 1（6）只有在 a > 0 时正确， a £ 0 时不一定成立例如：[(-2)2 ]2 = 2 ， (-2)2´ 2 = -2 ，则两式不相等7）不妨取 a = 0, n = -1 ，则命题不成立8）不妨取 a = -1, n = 2 ，则 - 1 无意义由以上可知，题中给出的 8 个命题都是假命题［点评］（1）要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可2）注意课本内容的讲授，在“根式”部分， xn = a 中的 a ，根据不同情况，可以取负m值，但在“分数指数幂”部分，a n 中的 a 必须取正数，在这部分的概念和性质中，都有 a > 0.［考题 4］计算：（1） 73 3 - 33 24 - 6319+ 4 33 3 ；7 3 1 11 1（2） (0.0081)- 4 - [3 ´ ( )0 ]-1 • [81-0.25 + (3 )-3 ]- 2 - 10 ´ 0.027 3 ；8 83 1 1（3） 3 a 2 • a -3 • (a -5 )- 2 (a - 2 )13 ；（4）4 1a 3 - 8 3 b2 24b 3 + 23 ab + a 3¸ (1 - 23ba)3 a ；3 1                         3（5） 23 - 6 10 + 4 3 + 2 2 .1 1 2 1 1［解析］（1）原式= 7 ´ 33 - 3 ´ 33 ´ 2 - 6 ´ 3- 3 + (3 ´ 33 ) 41 2 1 2= 33 - 6 ´ 3- 3 = 2 ´ 33 - 2 ´ 3 ´ 3- 31 1= 2 ´ 33 - 2 ´ 33 = 0.1 1（2）原式 = [( )4 ]- 4 - (3 ´ 1)-1 ´ [3-1 + ( )-1 ]- 2 - 10 ´ [(0.3)3 ]310 23 1 1 2 1 10 1= ( )-1 - ´ ( + ) 2 - 10 ´ 0.3 = - - 3 = 0.10 3 3 3 3 33 3 1 1 1 1（3）原式 = (a 2 • a - 2 ) 3 • [(a。