北京市通州区2024届高三上学期期末摸底考试数学Word版含解析.docx

通州区2023—2024学年高三年级摸底考试数学试卷本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题得，所以.故选：D2. 已知复数满足，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解.【详解】由题意得，所以，故选：B.3. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案.【详解】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c，则由双曲线的左､右焦点分别为，可知，由，知，故，故双曲线的标准方程为，故选：A4. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数奇偶性以及单调性定义对选项逐个判断即可.【详解】对于A，的定义域为，，故为奇函数，故A错误；对于B，的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故B错误；对于C，的定义域为，，故为偶函数，当时，，在区间上单调递减，故C正确；对于D，的图象如下图，故D错.故选：C.5. 如图，已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出轴截面图，求出正三角形的高，再结合题意得圆柱的底面半径和高，进而计算体积即可.【详解】根据题意，轴截面如图：在等边三角形中，高，因为圆柱的高是圆锥的高的，所以圆柱的高,又且，所以是的中点，即，于是该圆柱的底面半径为1，高为，则体积为.故选：C.6. 已知函数，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.【详解】由题意，在中，对称轴，∴当时，，解得：，∴“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.7. 如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意并根据可得，由三角函数定义知，然后应用差角余弦公式计算求值即可.【详解】由题意，设，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得，则故选：C8. 现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，的最大值为这8个圆的直径之和，然后利用等比数列求和公式可求得结果【详解】由题意可知，这12个圆的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，所以，的最大值为这8个圆的直径之和，由等比数列前项和公式可得，的最大值为.故选：B.9. 在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图可求得，根据向量积即可知.【详解】如图所示：当点与点重合时，此时最长，易知，且相似比为，，在中，由余弦定理得：，所以，此时满足，所以，所以，此时，由图可知，，则.故选：B.10. 已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ）A. B. C. 4 D. 6【答案】D【解析】【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值.【详解】当时，有，由随增大而增大，且，故，当时，有，即，即，整理得，即，故，又，故，综上所述，，则，当且仅当、时等号成立，故的最大值为.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知函数，则__________.【答案】##【解析】【分析】利用函数表达式即可求出的值.【详解】由题意，在中，，故答案为：.12. 在的展开式中，的系数为__________.【答案】【解析】【分析】由展开式的通项求解即可.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以x的系数为，故答案为：-56.13. 在中，角所对的边分别为，且，则__________；若的面积，则__________.【答案】 ①. ## ②. 【解析】【分析】由正弦定理化简已知式可得，即可求出；再由三角形的面积公式和余弦定理可求出.【详解】因为，由正弦定理可得，所以由可得：，则，所以；，解得：，因为，所以由余弦定理可得：，则.故答案为：；.14. 已知抛物线的焦点为，点为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于两点.若，则圆的方程为__________；若，则__________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】先根据点的纵坐标代入抛物线方程求出其横坐标，再求得圆心和半径即得圆的方程；根据可判断得到正三角形，利用其高长与边长的关系列方程解得.【详解】如图，当时，把代入中，解得：，因点在第一象限,故得，依题意，圆心为，圆的半径为,故圆的方程为：.当时，依题，，即为正三角形，因 ，则，由解得：或.因当时，,此时，以点为圆心，为半径的圆与准线不相交，不合题意舍去，而显然满足题意.故.故答案为：；.15. 已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足是和的等比中项.给出下列四个结论：①数列的通项公式为；②数列前21项的和为；③数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则新数列的前100项和为236；④设数列的通项公式，则数列的前100项和为2178.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①④【解析】【分析】利用求出可判断①；设数列的构成为，根据是和的等比中项求出可得，再利用裂项相消求和可判断②；求出构成的新数列，再求和可判断③；求出数列的前100项再求的前100项和可判断④.【详解】时，，得，时，，可得，所以是以首项为公比为的等比数列，所以，故①正确；设数列的构成为，，因为是和的等比中项，所以，可得，解得，所以，，所以数列前21项的和，故②错误；数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则时，即在与之间插入个2，为，时，即在与之间插入个2，为，时，即在与之间插入个2，为，时，即在与之间插入个2，为，时，即在与之间插入个2，为，时，即在与之间插入个2，为，所以新数列的前100项和为，故③错误；因为，即数列的前100项为，所以的前100项和，故④正确.故选：①④.【点睛】关键点睛：③④解题的关键点是求出构成的新数列，再求和可判断.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）若，且，求的值.【答案】（1），单调递增区间为 （2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式以及两角和与差化简可得，再求最小正周期和单调区间即可；（2）由得，则的值可求.【小问1详解】因为，所以.所以的最小正周期.令，得.所以的单调递增区间为.【小问2详解】因为，所以.因为，所以.所以.所以.所以的值为.17. 如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：平面；（2）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）选条件①，根据面面垂直的性质推出平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；选条件②，根据勾股定理逆定理证明，可得平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）由（1）可得平面，则可得平面，由此建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】选条件①：平面平面，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为为等边三角形，点为的中点，所以，因为平面平面，所以平面.选条件②：因为，为等边三角形，所以，因为，则，所以为直角三角形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为为等边三角形，点为的中点，所以，因为平面平面，所以平面.【小问2详解】因为，由（1）知平面，所以平面.如图，以点为原点，过点A在平面ABC内作AC的垂线作为x轴，分别以所在直线为轴､轴建立空间直角坐标系， 所以，所以.因为点为上一点，设，所以.因为，则，所以，所以，所以，所以.设平面的法向量为，所以，所以，令，得，所以.设直线与平面所成角为，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.（1）估计每位报名学生被确认为有效招飞申请概率；（2）求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；（3）根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得；（2）可看成次独立重复试验模型求解概率；（3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列.【小问1详解】因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.【小问2详解】因为每位报名学生被确认为有效招飞。