九年级数学相似形专题训练2.doc

专题复习《相似形》提高测试（一）选择题：（每题2分，共24分）1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为………………………………………………………………………（　　）（A）　　（B）　　（C）　　（D）【提示】设所要求的线段长为x，则有＝1．【答案】B．2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有………………………………………………………………………………………（　　）（A）△AED∽△BED　　　（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD　　　（D）△BAD∽△BCD【提示】AE＝BC，AD＝CD．【答案】B．3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有……………………………………（　　）（A）1条　　　（B）2条　　　（C）3条　　　（D）4条【提示】所截得的三角形为直角三角形，过P点分别作△ABC三边的垂线，可作3条．【答案】C．4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是……………………………（　　）（A）2　　　（B）3　　　（C）4　　　（D）5【提示】△AOB∽△COD，△AOD∽△BOC，△PAC∽PDB，△PAD∽△PCB．【答案】C．5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是……………………………………………………（　　）（A）∠APB＝∠EPC　　　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点　　　（D）BP︰BC＝2︰3【提示】当P是BC的中点时，△EPC为等腰直角三角形．【答案】C．6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；　　　（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有………………………………（　　）（A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个【提示】∵　∠B＝∠DAC，∴　（1）错，（2）对．【答案】A．7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是………………………………………………（　　）（A）AE⊥AF　　　　　　　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　　　　（D）FB︰FC＝HB︰EC【提示】先检验A、B、D的正确性．【答案】C．8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有…………………（　　）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC【提示】作EF⊥BC，垂足为F．【答案】B．9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于……………………………（　　）（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25【提示】△DEF∽△ABF，S△DEF︰S△BEF＝DF︰BF＝DE︰AB．【答案】A．10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（　　）．（A）5︰12　　（B）9︰5　　（C）12︰5　　（D）3︰2【提示】＝＝．【答案】C．11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为……………………………（　　）（A）2︰1　　（B）3︰2　　（C）3︰1　　（D）5︰2【提示】过C点作CF∥BA交ED于F点，则AE＝CF．【答案】A．12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为………………………………（　　）（A）4 cm、 cm　　　　（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm　　　　（D）5 cm、2 cm【提示】连结BD交EF于O点，则EF＝2FO，EF⊥BD．由Rt△BOF∽Rt△BCD，可得＝，求出OF的长．又　DE＞AD．【答案】B．（二）填空题：（每题2分，共20分）13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．【提示】6︰2＝8︰x；y2＝8×4．【答案】；4．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．【提示】分a＋b＋c≠0和a＋b＋c＝0两种情况．【答案】±1．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．【提示】由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED．【答案】10．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．【提示】延长FE交CB延长线于H点，则AF＝BH，考虑△AFG∽△CHG．【答案】1︰5．17．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．【提示】分“”类和“”类两类．【答案】6对．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．【提示】∵　∠A为公共角，∴　考虑∠A的两边或其他内角相等．【答案】∠B＝∠ACP，或∠ACB＝∠APC，或AC2＝AP·AB．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．【提示】DE＝AE，CF＝DE，并考虑＝．【答案】6．20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是______．【提示】作EF∥BC交AD于F．设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长．【答案】144．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．【提示】作AE∥DC交BC于E点，由Rt△ABE∽Rt△CBA，依次算出BE、AB的长，最后求出AE的长，即可求出梯形面积．【答案】36．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．【提示】延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC．【答案】．（三）画图题：（4分）23．方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形．（四）证明题：（每题7分，共28分）24．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．【提示】过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF．【答案】方法一：作FG∥BC交AB延长线于点G．∵　BC∥GF，∴　＝．又　∠BDC＝90°，BE＝EC，∴　BE＝DE．∵　BE∥GF，∴　＝＝1．∴　DF＝GF．∴　＝．方法二：作EH∥AB交AC于点H．∵　＝，＝，∠BDC＝90°，BE＝EC，∴　BE＝DE．∴　＝．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．【提示】先证△BCF∽△DBA，再证＝．【答案】∵　BC＝CD，EC⊥BD，∴　BE＝DE，∠FBC＝∠D．又　AB＝AC，∴　∠BCF＝∠DBA．∴　∠BCF∽△DBA．∴　＝．又　BD＝2BC，AB＝AC，∴　＝＝．∴　FC＝AC．因此　AF＝FC．26．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．【提示】利用AC＝AF＋FC．【答案】∵　EF∥BC，FG∥AD，∴　＝，＝．∴　＋＝＋＝＝1．27．如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．【提示】（1）证△BCG∽△DCG；（2）证Rt△HBG∽Rt△CFG．【答案】（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，∴　Rt△BDG∽Rt△DCG．∴　＝，即DG2＝BG·CG．（2）∵　DG⊥BC，∴　∠ABC＋∠H＝90°，CE⊥AB．∴　∠ABC＋∠ECB＝90°．∴　∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．∴　∠H＝∠ECB．又　∠HGB＝∠FGC＝90°，∴　Rt△HBG∽Rt△CFG．∴　＝，∴　BG·GC＝GF·GH．（五）解答题：（每题8分，共24分）28．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．【提示】利用三角形相似，推出BD＝．【答案】（1）∵　∠ABC＝∠CDB＝90°，∴　当＝时，△ABC∽△CDB．即　＝．∴　BD＝．即当BD＝时，△ABC∽△CDB．∵　△ABC∽△CDB，∴　∠ACB＝∠CBD．∴　AC∥ED．又　∠D＝90°，∴　∠ACD＝90°．∴　∠E＝90°．∴　四边形AEDC为矩形．29．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．【提示】（1）如图，证明△AFE≌△DGE，证出∠AFE＝∠EFC．（2）证明∠ECG＝30°，∠BCF＝30°．【答案】如图，是相似．【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵　E是AD的中点，∴　AE＝ED．∵　∠AEF＝∠DEG，∴　△AFE≌△DGE．∴　∠AFE＝∠DGE．∴　E为FG的中点．又　CE⊥FG，∴　FC＝GC．∴　∠CFE＝∠G．∴　∠AFE＝∠EFC．又　△AEF与△EFC均为直角三角形，∴　△AEF∽△EFC．① 存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．证明：当＝时，＝，∴　∠ECG＝30°．∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．又　△AEF和△BCF均为直角三角形，∴　△AE。