普通高等学校招生全国数学统一考试.doc

普通高等学校招生全国数学统一考试普通高等学校招生全国数学统一考试 本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分,第 I卷 1 至2 页,第 II卷 3 至 9 页, 共 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束.将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷(选择题共 40 分) 注意事项: 1．答第 I卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目写在答题卡上. 2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试卷上. 一.本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. (1)在复平面内,复数 对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)若 a 与 b－c 都是非零向量,则〝ab=ac〞是〝a⊥(b－c)〞的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件　　 (D)既不充分也不必要条件 (3)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为 (A)36 个(B)24 个 (C)18 个(D)6 个 (4)平面的斜线 AB 交于点 B,过定点 A 的动直线与 AB 垂直,且交 于点 C,则动点 C 的轨迹是 (A)一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 (5)已知 是上的增函数,那么 a 的取值范 围是 (A)(0,1)　　(B)(0,) (C),　　(D) (6)在下列四个函数中,满足性质:〝对于区间(1,2)上的任意,( ). 恒成立〞的只有 (A)　　　　(B) __61501; (C)　　　　(D) (7)设,则等于 (A)　　　　　(B) (C) 　　　　　(D) (8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A.B. C 的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段 , 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 (A) __61502; __61502; 　　　　　　　 (B) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (C)__61502; (D) 绝密启用前 _ 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文史类) (北京卷) 第II 卷(共 110 分) 注意事项: 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二.填空题:本大题共 6 小题,每小 题 5 分,共 30 分.把答 案填在题中横线上. (9)的值等于. (10)在的展开式中, 的系数是.(用数字作答) (11)若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(0 ,b)(ab0)共线,则, 的值等于 (12)在△ABC 中,若 C B A sinA: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是 (13)已知点 P(_,y)的坐标满足条件点O为坐标原点,那么PO 的最小值 等于,最大值等于. (14)已知A.B.C三点在球心为 O,半径为R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A.B 两点间的球面距离为 球心到平面 ABC 的距离为. . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题共 12 分) 已知函数. (Ⅰ)求的定义域; (Ⅱ)设的第四象限的角,且,求的值 (16)(本小题共 13 分) 已知函数在点处取得极大值5,其导函数 的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求: (Ⅰ)的值; (Ⅱ)a,b,c 的值.　　　　　　　　　　　 (17)(本小题共 14 分) 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=PB,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)求证:PB//平面 AEC;　　　　　 (Ⅲ)求二面角 E—AC—B 的大小. (18)(本小题共 13 分) 某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c,且三门课程考 试是否及格相互之间没有影响.求: (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) (19)(本小题共 14 分) 已知点 M(－2,0),N(2,0),动点 P满足条件PM －PN =,记动点 P的轨 迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是W上的不同两点,O 是坐标原点,求 .的最小值. (20)(本小题共 14 分) 在数列中,若 a1,a2 是正整数,且,3,4,5,…,则称 为〝绝对差数列〞. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的〝绝对差数列〞(只要求写出前十项); (Ⅱ)若〝绝对差数列〞中,,,数列满足 n=1,2,3,…,分虽判断当时, 与的极限是否存在,如果存在,求出其极 限值; (Ⅲ)证明:任何〝绝对差数列〞中总含有无穷多个为零的项. 数学参考答案 一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (2)C (3)B (4)A (5)C (6)A (7)D (8)C 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)　　(10)－14　　(11)　　(12) (13)　 　　　　(14)　 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(共 12 分) 解:(Ⅰ)由 得, 故在定义域为 (Ⅱ)因为,且是第四象限的角, 　所以 __61537; 故 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　. (16)(共 13 分) 解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(－∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以. (Ⅱ) 由 得 解得 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 又 所以 由, 即 得, 所以. (17)(共 17 分) 解法一: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD, ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC,AC平面ABCD, ∴AC⊥PB. (Ⅱ)连接BD,与 AC 相交于 O,连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO∥PB. 又 PB平面 AEC,EO平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. (Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为,=. 又 是二面角的平面角 　 二面角E-AC-B的大小为. (18)(共 13 分) 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 (Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率 应聘者用方案二考试通过的概率 　 　 . (Ⅱ)因为,所以 　　 故, 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大. (19)(共 14 分) 解法一: (Ⅰ)由PM－PN=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支,实 半轴长 又半焦距 c=2,故虚半轴长 所以 W 的方程为, (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为, 当 AB⊥_轴时,从而从而 当AB与_轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得 故　 所以　 　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　. 又因为,所以,从而 综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 A,B 的。