2022届北京市高考数学一轮复习 双曲线小题练习.docx

一轮复习-解析-双曲线小题练习一、解析-双曲线定义及标准方程1．（2021北京海淀高三）“”是“双曲线：的虚轴长为2”的（ ）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2020北京高三专题练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2021北京高三期末）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（　　）A． B． C． D．4．（2021北京高二期末）已知双曲线的两个焦点是、，点在双曲线上．若的离心率为，且，则（ ）A．或 B．或 C．或 D．或5．（2021北京昌平临川学校高三期末）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、、、四点，四边形的的面积为，则双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．6．（2021北京海淀清华附中）已知双曲线的一个焦点为，并且双曲线C的渐近线恰为矩形的边所在直线（O为坐标原点），则双曲线C的方程是（ ）A． B．C． D．7．（2020北京高三专题练习）已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为,且两条渐近线互相垂直,则此双曲线的标准方程为_____.8．（2021北京东城汇文中学高三开学考试）已知F是双曲线的右焦点，P是双曲C上的点，，(1)若点P在双曲线右支上，则的最小值为__________；(2)若点P在双曲线左支上，则的最小值为__________.9．（2021北京门头沟高三）已知双曲线C的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴，且经过点，下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C，该条件的序号是__________；满足该条件的双曲线C的标准方程是________.条件①：双曲线C的离心率；条件②：双曲线C的渐近线方程为；条件③：双曲线C的实轴长为2.10．（2020北京西城高三期末）对于双曲线,给出下列三个条件:①离心率为; ②一条渐近线的倾斜角为; ③ 实轴长为,且焦点在轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．二、解析-双曲线的几何意义（离心率与渐近线）1．（2021北京高三开学考试）双曲线的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．2．（2021北京中关村中学高二期末）双曲线（）的一条渐近线的方程为，则双曲线的实轴长为（ ）A． B． C． D．3．（2020北京高三）设，为双曲线：的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．4．（2020北京高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A． B．3 C．2 D．5．（2021北京人大附中高三开学考试）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.则的离心率为（ ）A．1.5 B．2 C．2.5 D．36．（2021北京人大附中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，直线与轴相交于点，若为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）A． B． C． D．7．（2019北京高三月考（理））已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．8．（2020北京市第五中学高三）设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．9．（2021北京海淀区高三期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________.10．（2020北京高三专题练习）如图所示，图中的多边形均为正多边形，，是所在边的中点，双曲线均以图中的，为焦点，则图①的双曲线的离心率为_____；图②的双曲线的离心率为_____．11．（2021北京育英中学）双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为__________．12．（2018北京四中高三（文））设双曲线C：的左焦点为，过的左焦点作x轴的垂线交双曲线C于M，N两点，其中M位于第二象限，B（0，b），若是锐角，则双曲线C的离心率的取值范围是__________.三、解析-双曲线的综合应用1．（2020北京丰台高二期末）已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，那么点P到x轴的距离为（ ）A． B． C． D．2．（2021北京房山高三）设是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，且.则的面积为（ ）A． B．2 C． D．13．（2021北京101中学高二期末）双曲线的右焦点为，点在椭圆的一条渐近线上.为坐标原点，则下列说法错误的是（ ）A．该双曲线离心率为B．双曲线与双曲线的渐近线相同C．若，则的面积为D．的最小值为4．（2018北京市朝阳区人大附中朝阳分校（理））若双曲线：与：的离心率分别为和，则下列说法正确的是A． B．C．与的渐近线相同 D．与有8个公共点5．（2019北京海淀区高考模拟（理））如图，在长方体中，，，点在侧面上，满足到直线和的距离相等的点A．不存在 B．恰有1个 C．恰有2个 D．有无数个6．（2019北京丰台区（理））一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（　　）A． B． C． D．试卷第24页，共1页参考答案一、解析-双曲线定义及标准方程1．A【分析】根据双曲线：的虚轴长为2求出对应的值即可判断.【详解】若双曲线：的虚轴长为2，则当且时，即时，，解得，当且时，即时，，解得，所以“双曲线：的虚轴长为2”对应的值为或，故“”是“双曲线：的虚轴长为2”的充分但不必要条件.故选：A.2．B【分析】根据方程表示双曲线的充要条件可构造不等式求得，由推出关系可确定结果.【详解】若表示双曲线，则，解得：.，，“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.故选：.3．B【分析】根据顶点位置可得双曲线的焦点在轴上，再由即可求解.【详解】双曲线一个顶点的坐标为，可得双曲线的焦点在轴上，且，又，所以，①又，②①②联立，解得，，所以双曲线的标准方程为.故选：B4．A【分析】求出的值，结合双曲线的定义可求得的值.【详解】在双曲线中，，，因为双曲线的离心率为，，，由双曲线的性质可知，由双曲线的定义可得，解得或.故选：A.5．D【分析】不妨设A在第一象限，根据双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、、、四点，由，求得x，y，然后根据四边形的的面积为求解.【详解】不妨设A在第一象限，，所以，解得，所以四边形的面积为，解得．故所求的双曲线方程为．故选：D6．A【分析】由题可得，再由为矩形可得，结合求出即可得出方程.【详解】焦点为，，为矩形，，根据双曲的对称性，，又，则可解得，则双曲线方程为.故选：A.7．【分析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出的值，结合焦点坐标即可求解.【详解】由题双曲线焦点在轴，设双曲线方程，两条渐近线互相垂直，即，得，又因为右焦点坐标为,所以，解得，所以双曲线的标准方程为：.故答案为：8．9 11 【分析】(1)根据题意易得三点共线时，最小；(2)先根据双曲线的定义进行转化，再由三点共线，即可求出的最小值.【详解】(1)根据题意得，双曲线右焦点，根据三角形的两边之和大于第三边，可知当，，三点共线时，最小，即；(2) 根据题意得，双曲线左焦点，根据双曲线的定义可知，，故，根据三角形的两边之和大于第三边，可知当，，三点共线时，最小，故.故答案为：；11.9．② 【分析】依题意设双曲线C的标准方程为，代入得，然后分别选择三个条件，分两种情况讨论求双曲线方程，根据求出的结果可得答案.【详解】依题意设双曲线C的标准方程为，则，若选择条件①：双曲线C的离心率，当时，则，即，代入得，此时双曲线的标准方程为，当时，，则，即，代入，，此时双曲线的标准方程为，所以选择条件①时，不能确定唯一双曲线C；若条件②：双曲线C的渐近线方程为，当时，则，即，代入，得，此时双曲线的标准方程为，当时，，，即，代入，得，不合题意，舍去，所以选择条件②时，能确定唯一双曲线C；若条件③：双曲线C的实轴长为2，当时，则，即，代入，得，此时双曲线的标准方程为，当时，，则，即，代入，，此时双曲线的标准方程为.所以选择条件③时，不能确定唯一双曲线C；故答案为：②；.10．,答案不唯一【分析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．【详解】若选择①③，所以，解得，所以，因为焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故答案为：，答案不唯一．二、解析-双曲线的几何意义（离心率与渐近线）1．C【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：.故选：C2．A【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程，与已知渐近线方程对应系数相等即可求出，从而求出实轴的长度.【详解】因为双曲线（），所以双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线的方程为，即，所以，则，所以实轴长为，故选：A.3．A【分析】由双曲线的两个顶点恰好将线段三等分得到求解.【详解】因为双曲线的两个顶点恰好将线段三等分点，所以，则，所以，所以，所以双曲线的渐近线的方程为，故选：A．4．D【分析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值．【详解】由双曲线的定义可得，由，可得，，结合双曲线性质可以得到，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故，对三角形，用余弦定理，得到，结合，可得，，，代入上式子中，得到，即，结合离心率满足，即可得出，故选：D．5．B【分析】由可求出点坐标，又由，可建立的齐次式，两边同除可求出离心率.【详解】解：当时，点坐标为，带入可得：，因为，则有，即，两边同除可得：，解得：.故选：.6．B【分析】设，由线段垂直平分线的性质以及等边三角形的性质可得，在中，由余弦定理可得，由即可求解.【详解】如图：设，由轴垂直平分线段，可得，因为为等边三角形，所以，因为点为双曲线右支上一点，所以，所以，所以，在中，由余弦定理可得：。