递归方程求解.doc

解递归方程下面的求解方法，其正确性可阅读组合数学中的相关内容1、 递推法例：Hanoi塔问题递归算法的时间复杂性，由以下递归方程给出：递推求解如下：所以，Hanoi塔问题递归算法的时间复杂性为：例：分治法实例设n表示问题的尺寸，n/b表示将问题分成a个子问题后的每个子问题的尺寸，其中a,b为常数d(n)表示在分解或合成子问题而得到整个问题解决时的时间耗费则整个问题的时间耗费由下面的递归方程给出：递推求解如下：设：，则，有：当为常数时，有：当为常数时，有：若：，则：若：，则：若：，则：综上所述：2、公式解法K阶常系数齐次递推方程：是常数则对应的特征方程为：特征方程有k个根：，称为齐次方程的特征根若：k个根中无重根，则齐次方程的通解为：其中的系数为待定系数，由方程的初始条件确定若：k个根中有r重根，中，，则齐次方程的通解为：例：求解递归方程解：递归方程的特征方程为 其特征根为：-1，-1，-1，2递归方程通解为：由初始条件有： 解得：因此递归方程的解为：K阶常系数线性非齐次递推方程：方程通解为： ，其中是对应的齐次方程的通解， 是一个特解当f(n)是n的t次多项式时，可设特解也是n的t次多项式：，其中是待定系数，将代入原递推方程后即可求出。

例：求解递归方程的一个特解解：设特解为，代入原递归方程有：化简有：比较两边的系数，有解得：因此递归方程的特解为：当f(n)是指数函数时，若，其中为给定系数若不是对应的齐次方程的特征根，则可设特解：，其中P待定若是对应的齐次方程的e重特征根，则可设特解：，其中P待定例：求解递归方程解：递归方程对应的齐次方程的特征方程为：，解为-2，-3递归方程对应的齐次方程的通解为：设特解为，代入原递归方程有：解得：，递归方程的特解为：递归方程的解为：由初始条件得：解得：所以递归方程的解为：3、 生成函数法设是一个数列，作形式幂级数：称A(x)是数列的生成函数当的通项由递归方程的形式给出时，利用生成函数可以求解出的结果例：Hanoi塔问题中，若：表示移动n个盘子所需要的移动次数，则递归方程有：解：以为系数构造生成函数：其中的系数为，所以有所以，Hanoi塔问题递归算法的时间复杂性为：练习：用公式法求解：1、 求通解：特征方程：通解为：2、 求特解：代入原递推方程：方程的解为：代入初始条件：。