线性代数-考研笔记.doc

第一章 行列式性质1 行列式与它的转置行列式相等性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零性质3 行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式第i行（或者列）乘以k，记作ri×k(或ci×k)推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面第i行（或者列）提出公因子k，记作ri÷k(或ci÷k)性质4 行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：D=a11a12⋯a21a22⋯a1i+a1i'⋯a1na2i+a2i'⋯a2n⋮⋮an1an2⋯⋮⋮ani+ani' ⋯ann=a11a12⋯a21a22⋯a1i⋯a1na2i⋯a2n⋮⋮an1an2⋯⋮⋮ani⋯ann+a11a12⋯a21a22⋯a1i'⋯a1na2i'⋯a2n⋮⋮an1an2⋯⋮⋮ani' ⋯ann性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

a11⋯a1ia21⋯a2i⋯a1j⋯a1n⋯a2j⋯a2n⋮⋮an1⋯ani⋮⋮⋯anj⋯annci+kcj=a11⋯a1i+ka1ja21⋯a2i+ka2j⋯a1j⋯a1n⋯a2j⋯a2n⋮⋮an1⋯ani+kanj⋮⋮⋯anj⋯anni≠j(ci+kcj⇔rci+krj)定义 在n阶行列式，把（i,j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i,j）元aij的余子式，记作Mij；记Aij=(-1)i+jMij ，Aij叫做（i,j）元aij的代数余子式引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAij定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin i=1,2，⋯，n，或D=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj j=1,2，⋯，n推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0i≠j和a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj=0i≠j范德蒙德行列式Dn=11x1x12x2x22⋮⋮⋯1⋯xnxn2⋯⋮x1n-1x2n-1⋯xnn-1=n≥i>j≥1xi-xj克拉默法则a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn①如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即D=a11⋯⋮a1n⋮an1⋯ann≠0，那么，方程组①有唯一解x1=D1D，x2=D2D，，xn=DnD 其中Dj(j=1，2，⋯，n)是把系数行列式矩阵D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即Dj=a11⋯a1，j-1⋮⋮b1a1，j+1⋯a1n⋮⋮⋮an1⋯an，j-1bnan，j+1⋯ann定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。

定理4’ 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组没有非零解定理5’ 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零第二章 矩阵级其运算定义1 由m×n个数 aij(i=1，2，⋯，n)排成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵；A=a11a12a21a22⋯a1na2n⋮⋱⋮am1am2⋯amn 以数aij为(i，j)元的矩阵可简记作（aij）或（aij）m×n m×n矩阵A也记作Am×n 行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵n阶矩阵A也记作An特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是 同型矩阵 同型矩阵A和B的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，A=B；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O；注意不同型的零矩阵是不同的特殊矩阵n阶单位矩阵，简称单位阵特征：主对角线上的元素为1，其他元素为0；E=1001⋯00⋮⋱⋮00⋯1对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作 Λ=diag(λ1,λ2，⋯，λn)Λ=λ100λ2⋯00⋮⋱⋮00⋯λn定义2 矩阵的加法设有两个m×n矩阵A=（aij）和B=（bij），那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为A+B=a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22⋯a1n+b1na2n+b2n⋮⋱⋮am1+bm1am2+bmn2⋯amn+bmn注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；矩阵加法满足运算律（设A，B，C都是m×n矩阵）（i.） A+B=B+A（ii.） A+B+C=A+(B+C)定义3 数与矩阵相乘λA=Aλ=λa11λa12λa21λa22⋯λa1nλa2n⋮⋱⋮λam1λam2⋯λamn数乘矩阵满足下列运算规律（设A，B都是m×n矩阵，λ，μ为数）（i.） λμA=λ(μA)；（ii.） λ+μA=λA+μA；（iii.） λA+B=λA+λB（iv.） λA=Aλ定义4 矩阵与矩阵相乘设A=（aij）是一个m×s矩阵，B=（bij）是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C=（cij），其中cij=ci1c1j+ci2c2j+⋯+ciscsj=k=1saikbkj(i=1，2，⋯，m；j=1，2，⋯，n)，并把此乘积记作 C=AB注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；矩阵的乘法性质（不满足交换律）（i.） （AB）C=A（BC）（ii.） λAB=λAB=AλB（iii.） AB+C=AB+AC，（B+C）A =BA+CA（iv.） EA=AE=A（v.） λA=AλE=λEA；AkAl=Ak+l，(Ak)l=AklλE=λλ⋱λ矩阵的转置定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。

性质：（i.） (AT)T=A；（ii.） (A+B)T=(A)T+(B)T（iii.） (λA)T=λAT（iv.） (AB)T=BTAT定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵A的行列式，记作A或det A；（A，B为n阶方阵，λ为数）（i.） AT=A（ii.） λA=λnA（iii.） BA=AB=AB伴随矩阵定义：A*=A11A21A12A22⋯An1An2⋮⋱⋮A1nA2n⋯Ann A的各个元素的代数余子式Aij性质：AA*=A*A=AE定义7 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB= BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称 逆阵 定理1 若矩阵A可逆，则A≠0定理2 若 A≠0 ， 则矩阵A可逆，且 A-1=1AA*A*=AA-1 其中A*为矩阵A的伴随阵A是可逆矩阵的充分必要条件是 A≠0推论 若AB=E或BA=E，则B=A-1方阵的逆阵满足下述运算规律：（i.） 若A可逆，则A-1亦可逆，且A-1-1=A（ii.） 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且λA-1=1λA-1（iii.） 若A，B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且AB-1=B-1A-1分块矩阵的运算法则（i.） 分块矩阵的加法 ⇔ 矩阵的加法（ii.） 数与分块矩阵相乘 ⇔ 数与矩阵相乘（iii.） 分块矩阵与分块矩阵相乘 ⇔ 矩阵与矩阵相乘（iv.） 分块矩阵的转置:设A=A11⋯A1r⋮⋱⋮As1⋯Asr ⇒ AT=A11T⋯As1T⋮⋱⋮A1rT⋯AsrT （v.） 设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A=A1A2⋱As其中Ai(i=1，2，⋯，s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵 A=A1A2⋯As克拉默法则 对于n个变量、n个方程的线性方程组a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn如果它的系数行列式D≠0，则它有唯一解xj=1DDj=1Db1A1j+b2A2j+⋯+bnAnj 其中j=1，2，⋯，n ⇒ xj=1DA1jA2j⋮A3jTb1b2⋮b3第三章 矩阵的初等变换与线性方程组定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i.） 对调两行（对调 i，j 两行，记作ri⟷rj）；（ii.） 以数k≠0乘某一行中的所有元素（第i行乘k，记作ri×k）；（iii.） 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj；把定义1中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把“ r”换成“c”）矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称A与B行等价，记作A∼rB；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称A与B列等价，记作A∼cB；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称A与B列等价，记作A∼B；矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i.） 反身性 A∼A；（ii.） 对称性 若A∼B，则B∼A；（iii.） 传递性 A∼B，B∼C，则A∼C；行最简形矩阵，特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。

定理1 设A与B为m×n矩阵，那么：（i.） A∼rB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P；使PA=B；（ii.） A∼cB的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q；使AQ=B；（iii.） A∼B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B；推论 方阵A可逆的充分必要条件是A∼rE行变换三个应用：(1) A，E∼rB，P⟺PA=B⟺P=BA-1⟺求P(2) A，E∼rE，P⟺P=A-1(3) A，B∼rE，X⟺AX=B⟺X=A-1B定义3 在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的n阶行列式定义4 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)；并规定零矩阵的秩序等于0定理2 若A∼B，则RA=R(B)推论 若可逆矩阵P，Q使PAQ=B，则RA=R(B)矩阵秩的基本性质1. 0≤R(Am×n)≤minm，n2. R(AT)=R(A)；3. 若A∼B，则RA=R(B)4. 若P，Q可逆，则RPAQ=R(A)5. maxRA，RB≤RA，B≤RA+R(B)，特别地，当B=b为非零列向量时，有RA≤RA，b≤RA+16. RA+B≤RA+R(B)7. RAB≤minRA，RB8. 若Am×nB。