矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件ppt课件.ppt

矩阵乘法矩阵乘法AB BAAB BA成立的两个充成立的两个充 要条件与一个充分条件要条件与一个充分条件 1 1 我们知道 矩阵的乘法不满足交换律 我们知道 矩阵的乘法不满足交换律 即在一般的情况下 即在一般的情况下 AB BA AB BA 这就是说矩阵这就是说矩阵 乘法乘法AB BAAB BA成立是有条件的 比如 对于成立是有条件的 比如 对于n n 阶矩阵阶矩阵A BA B中任意一个为中任意一个为n n阶单位矩阶单位矩E E时 矩时 矩 阵乘法阵乘法A A A A总是成立的 当总是成立的 当A BA B为一般为一般 的的n n阶矩阵时 矩阵乘法阶矩阵时 矩阵乘法AB BAAB BA成立的条件成立的条件 时什么呢 为此 我做了一些探讨 得到矩时什么呢 为此 我做了一些探讨 得到矩 阵乘法阵乘法AB BAAB BA成立的两个充要条件和一个充成立的两个充要条件和一个充 分条件 分条件 2 2 一一 两个充要条件两个充要条件 定理定理1 1 若若A BA B都是都是n n阶可逆矩阵 则矩阵乘法阶可逆矩阵 则矩阵乘法AB BAAB BA 成立的充要条件是成立的充要条件是 证证 必要性必要性 由已知条件由已知条件AB BAAB BA 两端分别取逆矩阵 两端分别取逆矩阵 得 得 3 3 充分性充分性 由已知条件 得由已知条件 得 存在且唯一 由矩阵运算性质 有 于是 又 两端取逆矩阵 即得AB BA 4 4 定理定理2 2 设设A BA B都是都是n n阶矩阵 则矩阵乘法阶矩阵 则矩阵乘法AB BAAB BA成成 立的充要条件是立的充要条件是 证 必要性 由已知条件AB BA 两端分别取它 们的转置 得 2 又 故 充分性 又矩阵运算性质 5 5 及已知条件 即得 两端分别取它们的转置 得AB BA 二 一个充分条件 定理3 若A B都是n阶可逆矩阵 并且满足关系式 3 其中I为n阶单位矩阵 为任意实数 则AB BA 6 6 证证 当当 0 0时 时 3 3 式变为 式变为A ABA AB 从而有 从而有 结论显然成立 结论显然成立 当当 为任意非零实数时 因为已知为任意非零实数时 因为已知A BA B可逆 可逆 所以所以A IA I也是可逆的 由 也是可逆的 由 3 3 式 得 式 得 4 4 根据矩阵运算性质根据矩阵运算性质 由 由 3 3 4 4 两式 两式 可得可得 7 7 又 故 根据上述定理2 知AB BA 综上所述 对于任意的实数 定理3的结 论总是 成立的 8 8 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好 。