斐波那契数列研究.doc

斐波那契数列研究一、斐波那契生平斐波那契（1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐 波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，斐波那契前往地中海一 带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国1202年，27 岁的他将其所学写进计算之书这本书通过在记帐、重量计算、利 息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值这本书大 大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数 字并不流行欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15〜16世纪）欧洲数学的高涨文艺复兴的前哨意大利， 由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉意大利学 者早在12〜13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献欧 洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契，其拉丁文代表著 作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成 的，斐波那契，早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海 沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》。

《算经》最大的功绩是系统介 绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌现传《算经》是1228 年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”《几何实践》则着重叙述希腊几何与三角术斐波那契其他数学著作还有《平方数 书》、《花朵》等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克 二世宫廷数学竞赛问题，斐波那契论证其根不能用尺规作出，他还未 加说明地给出了该方程的近似解微积分的创立与解析几何的发明一 起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作在牛 顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿二、《算盘原理》《算盘原理》中的“算盘”并非仅仅指罗马算盘或某种计算工具而是指一般的计算全书共分为十五章前7章介绍了位值制原理整数和分数的各种计算方法，以及各种数表；8-12章以各种商业问 题为例给出了许多算数的应用；第13章论述了比例和试位法；第14章讲述开方法则；最后一章则涉及到几何和代数问题在其1228年 的修订本中，又加进去有趣的“兔子问题”和著名的斐波那契数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,,从第三项开始每一项是前两项的和。

《算盘原理》是向欧洲介绍印度一阿拉伯数码和阿拉伯数学的最早 著作，自问世后广为流传，为印度一阿拉伯数码和阿拉伯数学在欧洲 传播起了重要的作用，对欧洲数学的发展产生了巨大的促进作用三、斐波那契数列数列及其推导公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和斐波那契数列通项公式 通项公式注：此时 a1=1, a2=1, an=a (n-1) +a (n-2) (n＞二3, nWN*)通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3. 5、8、13、21.…… 如果设F(n) 为该数列的第n项(neN+) o那么这句话可以写成如下形式： F(0)=0, F ⑴=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(心2), 显然这是一个线性递推数列方法一：利用特征方程(线性代数解法)线性递推数列的特征方程为：X2X+1解得 X1 = (1+V5)/2, , X2=(1-7 5)/2则 F(n)=C1*xrn + C2*X2"nVF(1)=F (2)=1・・・C1*X1 + C2*X2C1*X广2 + C2*X2"2解得 C1=V5/5, C2=- V5/5AF(n) = (V5/5)*{[(1+75)/21"n - [(1-75)/2]^}方法二：待定系数法构造等比数列1 (初等代数解法)设常数r, s使得 F (n) -r*F (n-1) =s* [F (n-1) -r*F (n-2)]则 r+s=1, -rs=1n$3 时，有 F (n) -r*F (n-1) =s* [F (n—1) —r*F (n-2)]F (n~1) ~r*F (n-2) =s* [F (n-2) -r*F (n-3)]F (n-2) - r*F (n - 3) =s* [F (n - 3) - r*F (n - 4)]F (3) -r*F (2) =s* [F (2) -r*F (1)]联 立 以 上 n-2 个 式 子， 得F (n) -r*F (n-1) = [s“ (n-2) ] * [F (2)-r*F (1)]Vs=1-r, F(1)=F⑵=1上式可化简得： F (n) =s" (n-1) +r*F (n-1)那么： F (n) =s" (n-1)+r*F (n-1)=s'(n-1) + r*s" (n-2) + 厂 2*F(n - 2)=s" (n-1) + r*s" (n-2) + r"2*s" (n-3) + r"3*F (n-3)=s"(n-1) + r*s" (n-2) + r"2*s" (n-3) + + r八(n-2)*s +r^(n-1)*F(1)=(n-1) + r*s八(n-2) + r^2*s^ (n-3) + + (n-2) *s + (n-1)(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等 比数列的各项的和)= [s" (n-1)-r" (n-1)*r/s]/ (1-r/s)=(s"n 一 r"n)/ (s-r) r+s=1,~rs=1 的一解为 s=(1+ V5)/2, r=(1- V5)/2则 F (n) = (V5/5)*{[(1+V5)/2]^n 一 [(1-75)/2] ^n}方法三：待定系数法构造等比数列2 (初等代数解法)已知 a1=1, a2=1, an=a (n-1) +a (n-2) (n>=3),求数列{an}的通项公式解:设 an- a a (n-1) = 3 (a (n-1) - a a (n-2))得 a+B=1a B 二T构造方程 xY-x-1 二 0,解得 a=(1-V5)/2, 3=(1+V5)/2 或 a=(1+J5)/2, B =(175)/2所以an -(1 - V 5) /2*a (n~1) = (1+ J 5)/2* (a (n-1) -(1 - J5) /2*a (n-2)) = [(1+V5)/2]" (n-2) * (a2- (1-V5)/2*a1) 1an- (1+ V 5) /2*a (n-1) = (1- J 5)/2* (a (n-1 )-(1+ J5) /2*a (n-2)) = [(1-V5)/2]" (n-2) * (a2- (1+V5)/2*a1) 2由式1,式2,可得。

an= [ (1 + J 5) /2厂(n-2) * (a2- (1-V5)/2*a1) 3an= [(1-75)/21" (n-2) * (a2-(1+V5)/2*a1) 4将式 3*(1+J5)/2-式 4*(1- V 5)/2,化简得 an= (1/ V 5)*{[(1+ V 5)/2]、一 [(1-V5)/2]^n}四、斐波那契数列的性质1・斐波那契数列中任一项的平方数都等于跟它相邻的前后两项的乘积加1或减1;2 •任取相邻的个斐波那契数，中间两数之积(内积)与两边两数之积(外积)相差1・同样我们还可以有t阶斐波那契数列，通过递推数列a (n+t) =a (n+t-1) +a (n+t-2) +... +a (n),其中 a(1)=a (2)=1,以及对于3-t<=n<=0,有a(n) =0・ 给出了 t阶斐波那契数列的通项公式: [r^(n-1) (r-1)/((t+1)r-2t)],其中 r 是方程 {t+1}-2x^t+1=0 的 唯一一个大于1的正数根五、斐波那契数列与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割0. 618.14-1=1,24-1=2,34-2=1.5,5 4- 3=1.666..・,8 4- 5-1.6 9 , 89 4-55=1.6181818233 4- 144=1.618055 …75025 4- 46368=1.6180339889-越到后面，这些比值越接近黄金比。

证明：a[n+2]=a[n+1]+a[n]两边同时除以a [n+1]得到：a [n+2] /a [n+1 ] =1 +a [n] /a [n+1 ]若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x,则 I im[n->°°] (a[n+2]/a[n+1 ]) = I im[n->°°] (a[n+1]/a[n])=x所以 x=1+1/x即 x²=x+1所以极限是黄金分割比六、生活中存在的斐波那契数列在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前一一比如松 果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、 等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只 是巧合的东西强行划分为斐波那契数比如钢琴上白键的8,黑键上 的5都是斐波那契数，应该把它看做巧合还是规律呢？随着数列项数 的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0. 6180339887……从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多b每个偶数项的平方都比前后两项之积少1o （注：奇数项 和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比 如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项, 如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）如 果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故 作惊讶地问你：为什么64=65?其实就是 利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项, 事实上前后两块的面积 确实差1,只不过后面那个图中有一条 细长的狭缝，一般人不容易注意到。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合中所有不包含相邻正整数的子集个数斐波那 契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现例如，在树木的枝干 上选一片叶子，记其为数0,然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循O叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数在一个循回中叶子数与叶子 旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比多数 的叶序比呈现为斐波那契数的比七、应用1、数学游戏一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠 朋友说:“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺, 宽5英尺的长方形地毯这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因 为两者之间面积相差达一平方英尺呢！这真是不可思议的事！亲爱的 读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？实际上后来 缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺2、自然界中的巧合斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用例如，树木 的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长, 而后才能萌发新枝所以，一株树苗在一段间。