离散数学及应用习题及答案4-1.docx

应用离散数学 代数结构第4章：代数结构§4.1 代数运算习题4.1 1. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭 （1）集合关于普通加法和普通乘法运算，其中是正整数2）集合关于普通加法和普通乘法运算3）集合关于普通加法和普通乘法运算4）集合关于普通加法和普通乘法运算5）阶实可逆矩阵集合关于矩阵加法和矩阵乘法运算对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元 解 （1）封闭满足交换律、结合律和分配律，普通加法单位元0，没有零元，每个元素的逆元是其相反数普通乘法零元是0，如果n=1时有单位元1，只有1有逆元1自已，其他元素没有逆元如果n>1时，没有单位元2）对普通加法不满足封闭对普通乘法满足封闭性，满足交换律、结合律没有零元，单位元是1，只有1有逆元1自已，其他元素没有逆元3）对普通加法不满足封闭对普通乘法满足封闭性，满足交换律、结合律零元是0，单位元是1，只有1有逆元1自已，0没有逆元4）对普通加法不满足封闭对普通乘法满足封闭性，满足交换律、结合律没有零元和单位元。

5）封闭矩阵加法运算满足交换律、结合律，矩阵乘法满足结合律，不满足交换律矩阵加法和矩阵乘法满足分配律矩阵加法有单位元n阶零矩阵，没有零元，每个矩阵的逆元是其相反矩阵矩阵乘法零元是n阶零矩阵，单位元是n阶单位矩阵，奇异矩阵没有逆元，非奇异矩阵有逆元，即其逆矩阵 2. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭 （1）正实数集合和*运算，其中*运算定义为： （2）运算定义为：对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元 解 （1）不封闭，例如： （2）封闭 不满足交换律：满足结合律：，满足等幂律： 都是左单位元，但无右单位元都是右零元，但无左零元因为无单位元，所以无逆元3. 设，这里是有理数集合，*为上的二元运算，， （1）*运算在上是否可交换、可结合？是否为等幂的？ （2）*运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求中所有可逆元素的逆元 （3）*运算在上是否满足消去律？ 解 （1）因为*= ,所以*≠*,不满足交换律 又因为(*)*= , *(*)= ,从而满足结合律。

*=≠，所以不满足等幂律 （2）有单位元<1，0>，没有零元当u不为0时，的逆元是<1/u，-v/u> （3）满足消去律4. 为实数集合，定义以下六个函数有 （1）指出哪些函数是上的二元运算2）若是上的二元运算，说明是否是可交换的、可结合的、等幂的？（3）若是上的二元运算，在存在的情况下求出单位元、零元以及每个可逆元素的逆元4） 若是上的二元运算，说明是否满足消去律 解 （1）f1, f2, f3, f4, f5, f6都是R上的二元运算2）f1：可交换，可结合，不等幂，满足消去律单位元0，无零元，每个元素的逆元是其相反数3）f2：不可交换，不可结合，不等幂，无单位元，无零元4）f3：可交换，不可结合，不等幂，无单位元，无零元5）f4：可交换，可结合，不等幂，满足消去律单位元1，零元0，除0外每个元素的逆元是其倒数6）f5：可交换，可结合，等幂，无单位元，无零元7）f6：可交换，可结合，等幂，无单位元，无零元5. 设，问下面定义的运算*在上是否封闭？对于封闭的二元运算，请说明运算是否满足交换律、结合律，并在存在的情况下求出运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。

（1），表示与的最大公因数 （2），表示与的最小公倍数 （3）大于等于和的最小整数 （4）质数的个数，其中 解 （1）封闭满足交换律，满足结合律，满足等幂律无单位元，1是零元因为无单位元，所以无逆元2）不封闭，例如：（3）封闭满足交换律，满足结合律，满足等幂律1是单位元，10是零元1的逆元为1，其他无逆元4）封闭不满足交换律，不满足结合律，不满足等幂律无单位元，无零元因为无单位元，所以无逆元杭电－周丽、方景龙 第四章 3。