细品“多大的能看到自己”.doc

 图1MNB D B'A'A CP细品“多大的镜子能看到自己”区实验中学 徐业业照镜子是生活中最普通的事，镜子也是生活中最容易看见的如买鞋时，想要看看鞋是否穿着漂亮时，服务员总会引你去一块斜放在地上的平面镜前，在平面镜前，你不难发现，你能看见的也就只是你的脚！这只是因为镜子太小了吗？一切又如何解释？多大的镜子才能看到全身？一切的一切似乎奇怪又显得头头是道，但其道为何？引人深思，充满好奇的我决定探其真容一、平面镜成像原理：平面镜为什么能成像呢？在科学课中，我们能知道，平面镜成像是因为光的反射人体反射的太阳光在平面镜上发生镜面反射进入了人体的眼球，在脑中形成了一个虚像，就像是平面镜里有个“镜中人” 一般这便是镜面成像的原因平面镜成像时，就是物体以平面镜所在直线为对称轴作轴对称变换，其像与实物的对称点之间的连线被平面镜所在直线垂直且平分那么，我们需要多大的镜面才能看到整个自己呢？想到这，鞋店平面镜的坡度又给了我启示：这该分成两种情况考虑了——直放和斜放那其大小各为多少呢？我进行了分类讨论，自然从简单的开始，我选择了与地面垂直的直放平面镜：二、直放平面镜：首先，毫无头绪的我决定进行实际测量，如右图 1，若 AB 为一个人（A 为眼睛） ，MN 为一面平面镜，AB与 MN 都垂直 BB′，根据平面镜成像规律，过点 A 作AC⊥MN，并延长 AC，在 AC 的延长线上取 CA′＝AC.则点 A′就为点 A 在平面镜中成的像。

同理作 B 点在平面镜中成的像 B′，连结 A′B′，则 A′B′就为 AB 在平面镜中成的像，连结 AB′交 MN 于点 P，点 B 的光线射到点 P 时，就可通过镜面反射到 A 处，A处即可看见点 B 的像那么实际使用 CP 这一段平面镜就可以成 AB 的像图 1 中，AB＝1.5cm 随后我又测量了 CP 的长，约为 0.75cm，不难惊奇发现， CP＝ AB，这是2真的还是偶然？一个数据的确具有偶然性，我又画了几个图，结果皆为如此，这是为什么？原来，这 CP 便是三角形的中位线！如图 1，根据平面镜成像规律，可知，AC＝A′C ，∵MN⊥BB′， A′B′⊥BB′.∴MN∥A′B′ ，则在 △AB′A′中， ∵MN∥A′B′ ∴△AB′A′∽△APC ∴ ＝ ＝ 　∴CP＝ A′B′＝ AB'ABP'C22 图2DCBFEA由上可得，直放时，平面镜长度是人身高的一半高度，那平面镜的宽度呢？此时，思路一下子就断了，这该如何去研究？我去寻求了同学的帮助在讨论中我们发现，要想在镜中看到自己的全部，就可归结为是否看见人的最宽部位肩部，而人又有两只眼睛，那么：如右图 2，一个人在照镜子，人站在镜子前，A 、B 为人的眼睛，在平面镜“外” ，E、F 为人得肩部在平面镜成的像，即在平面镜“内” 。

连结AE、BF 交平面镜于点 C、D ，即点 C、D 在平面镜“上” ，可知只需要 CD 那么宽的镜子就可成肩部的像如何求得 CD 长呢？由平面镜成像规律和实际情况可以知道，AB∥CD∥EF ， AE＝BF，AC＝ AE，BD＝ BF，则该四边形为等腰梯形， CD 为等腰21梯形 AEFB 的中位线∴CD ＝ 也就是说，在平面镜直放时，平面镜宽度为人双EFAB眼间距离和两肩间距离的和的一半时就可以在镜中看见人的全像经过上述的研究于讨论，我们能发现，当想在竖直摆放的平面镜中观察到全身的像时，平面镜的大小应该定为：长＝ ×人的身高21宽＝ ×（人的双眼间距离+两肩间距离）三、斜放平面镜：有直放自然就会有斜放的可能，那么斜放时，又要多大的平面镜呢？正想要像研究直放平面镜成像一般推论时，一个困难摆在了我的面前，直放时，平面镜与地面的夹角为90°，为一个定值，但斜放时，平面镜与地面的夹角不是一个定值，那平面镜大小又是否会和这个倾斜角有关呢？若有关又有何关系呢？我画了三个不同夹角时的情况（物长仍然为1.5cm）：图 3N1P1B' A'BAN3P3F'E'EFN2P2D'DC'C40°80°120°在图 3 中，三个不同倾角（指平面镜将地面平角分成两个角中的右侧的角，如图中的 40°的角）为 40°、80°、120° 的平面镜分别成同一高度的 1.5cm 的 AB、CD、EF 三个像，所需平面镜长度分别为 P1N1、P 2N2、P 3N3 经过测量，测得 P1N1 ＝0.68cm； P2N2＝0.80cm；P 3N3 ＝0.38cm。

可见，平面镜的倾角不同，所需要的平面镜长度也不同，对此，我想寻求这倾角与所需平面镜长度的关系，如何寻求呢？当然好像依靠我目前的能力无法通过理论来实现这个目标，于是我决定用一个最土却最有效的方法，那就是画出各种情况，进行测量，把他们再描到同一个坐标轴上，根据这各个点连线的图像情况，说不定就有一个意想不到的收获然后，我便努力准确画出了图形并测量了所需的数据，列出下表来：表 1. 长 1.5cm 的实物在平面镜中成全像所需镜长与平面镜倾角的关系表平面镜倾角 x（度） …… 10 20 30 40 50 60所需镜面长y（cm）…… 0.23 0.40 0.56 0.68 0.78 0.82平面镜倾角 x（度） 70 80 90 100 110 120 ……所需镜面长y（cm）0.84 0.80 0.75 0.68 0.54 0.38 ……根据上述描点，我们发现，各点之间的连线形如一条抛物线，那么我便认为他们之间存在二次函数设该抛物线的函数解析式为：y＝ +bx+c 得：2ax 解得：cba80.097536.22024.36849cba∴这条抛物线的函数解析式大致为：y＝ x + x+0.024923068但是此时老师向我们提出了不同的看法，认为这是我们尚未学过的正弦函数的图像，但是我们可以用几何知识予以证明。

于是我们卯足干劲终于使其得证现证明如下：作 DQ⊥CC′交 CC′于 Q，∠ N2KH=∵∠CDK=∠QDT=RT∠∴∠DCQ=∠DKT= ∠N 2KH=∴DQ=CDsin ∴上面的解析式是 y=xsin这便是平面镜斜放时，在镜中看见全身所需镜长与平面镜的倾角的函数关系y＝xsin 的关系只在物长为 1.5cm 而平面镜倾角不同时适用，那是否适用于任何长度呢？显然这是适用的，但我们仍然先需要用实验的手段进行证明于是我开始了新的任务，我将 40°倾角的平面镜前加了不同的高度，进行研究，如图 4：作 AD⊥DO，取 AD＝3cm ， BD＝2cm，CD＝1cm.画一个倾角为 40°的平面镜，并画出它们的像，分别为 A′D′、B′D′ 、C′D′ 则可测量出它们各自成像所需平面镜长度： AD 成像所需镜长为 1.59cm，BD 所需长为 1.03cm，CD 所需长为 0.51cm似这其中的确存在某种关系，但我无法保证，于是我又准确画出图形并测量了所需数据，列表如下：表 2：不同长的实物在倾角为 40°的平面镜中成全像所需镜长关系表物长 x (cm) … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 …所需镜长 y (cm) … 0.28 0.51 0.72 1.03 1.32 1.59 1.83 2.12 2.41 2.77 …这里似乎看不出什么，于是我将他们描在了同一坐标轴上：40ONMA'B'C'D'DCBA图 4N2D'DC'C QTP2K H在图中，我们可以看出在该图中，各个点连线形状类似于一条直线，若排去误差，则可看作其为一条直线，即他们之间存在一次函数的关系，设该图象的函数解析式为y＝kx+b，把 x＝2.5，y＝1.32 和 x＝3，y＝1.59 代入 y＝kx+b 得：解得：bk359.1.20.527bk∴该图像的函数的关系，设该图象的函数解析式大致为 y＝ x﹣0.035027其实如果真正排除了误差的话 b 应该等于 0，也就是说上面的一次函数经过原点。

而 k值 正好接近 sin40o，所以上面的结论 y=xsin 是正确的 5027 所以平面镜斜放时，平面镜长度与人长或平面镜斜角有关那宽呢，细细一想，斜放时宽度应与直放时相同，因为斜放了只是眼与肩的连线变长，但是镜面仍然是这两条连线的中点，因此，这宽还是所构成等腰梯形的中位线，也就还是等于人的双眼间距离和两肩间距离的和的一半，并没有什么变化所以若想在斜放的平面镜中看到全身所需平面镜大小为：长＝sin 宽＝ ×(人的双眼间距离+两肩间距离)21四、镜长与生活实际：数据，永远知识理想化的东西，要想使数据“活”起来，就必须联系实际，只有在实际生活中，它们才会有所用处，在这次探究中，你们不难发现我在画图包括描述中，我都没有考虑到人到镜面之间的距离，起初我也就没有想到什么，但是做完后细细一想，这的确很重要，因为考虑一个问题要全面，的确我必须了解这人到镜面的距离是否影响了数据？如图 5，在图中，等长的 AB、CD、EF 分别在平面镜 MN 中成像 A′B′、C′D′ 、E′F′，连接 AB′、CD′、EF′ ，则图中 P1N1、P 2N2、P 3N3 的长分别是 EF、CD、AB 成像所需的平面镜长度，经过测量，P 1N1>P2N2>P3N3 也就是说，物长即使是相等的，但是当你在离镜子距离（指物体与地面交点到平面镜与地面交点的距离）不同时，你看到自N3N2N1P3P2P1NMB'A'D'C'F'E'FEDCBA60.0图 5图 6OQP E'F' D'C' A'B'NMAB D FC EN3N2N1P3P2P1NMB'A'D'C'F'E'FEDCBA60.0己所需要的镜长也是不同的，距离越大，则你看到自己所需的镜长越短，但这一定吗？不，直放的平面镜就不会这样了，为什么呢？我将图 5 中的 60°角换成 90°，又会出现什么？图 6 中，MN ⊥BF ，继续作等长的 AB、CD、EF 分别在平面镜 MN 中成像A′B′、C′D′、E′F′，连接 AB′、CD′ 、EF′ ，则图中 EF、CD 、AB 成像所需的平面镜长度都为 PQ，都为物长的一半，为什么呢？很简单，因为人在直放平面镜中成的像也垂直于地面，那么，人与像的连线就为一个矩形，如 ABB′A′，又因为人与像到平面镜的距离相等，PO 为矩形的中位线，且点 Q 为 PO 的中点，则点 Q 为矩形的对称中心，所以矩形对角线都会经过点 Q。

这似乎很出人意料，因为很多人在挂在墙上的镜子前走动时都以为看到的自己大小是不一样的，但事实上，你如果不改变自己的视角，那么，你想看到全身所用的直放平面镜长度是不变的，都等于自己身高的一半，恰恰否决了很多人的想法也就是说，实际上，人在距平面镜多少距离观察自己也会影响斜放平面镜的长度大小当然，生活中就是如此，可复杂多了，在探究中我又发现了这样一个问题十分严重，也就是在斜放平面镜成像时，所需镜面的位置开始我根本就没有想到，但一留神，这也确实很重要，因为我所研究的东西是来自于生活的，我不能把它脱离了生活后也就不把它还回实际，这样这些研究是没有多少用处的镜面的位置，直接从一个数学长度问题联系到了生活中，我把上面用过的图 5 拿来加以说明：在图 5 中，我分别画出了等长的 AB、CD、EF 在不同距离下在平面镜 MN 中成的像A′B′、C′D′、E′F′，并画出了所需要的镜面 P1N1、P 2N2、 P3N3 我仅仅说明了长度的问题，但假如你真的把 BD 所在直线看做是地面的话，会出现多可笑的情况？看，我们所需要的平面镜都插到地底下去了，呵呵，对，在实际生活中，我们要的必须是在地面之上的东西，不然是不符合实际的虚伪的东西，那何时可以使镜面在地面之上呢？这将与镜面的倾角、人的身高、人到镜面的距离有关。

且在研究斜放平面镜长度与人的身高的关系时，我选择了倾角为 40°，列出了一条一次函数，但这是否适用于其他角度？若不行，那其他角度又存在什么关系？这平面镜。