(强烈推荐)指数、对数函数.doc

指数函数、对数函数讲义指数函数、对数函数讲义指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的 概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场(★★★★★)设 f(x)=log2,F(x)=+f(x). xx  11 x21(1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若 f(x)的反函数为 f－1(x),证明：对任意的自然数 n(n≥3),都有 f－1(n)>;1nn(3)若 F(x)的反函数 F－1(x),证明：方程 F－1(x)=0 有惟一解. ●案例探究 ［例 1］已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上； (2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础 知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得 点 A 的坐标. (1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以,点 C、D 坐标分别为228118loglog xx xx(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1==3log8x2,所以 OC 的斜2loglog818x2logloglog,log3828 2218xxx率：k1=,118212log3log xx xxOD 的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上.228222log3log xx xx(2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x231得：x13log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x13=3x1.又 x1>1,∴x1=,则点 A 的坐标为(3，log8).33［例 2］在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn位于函数 y=2000()x(0bn+1>bn+2.则以10abn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,解得10a 10aa5(－1).∴5(－1)1 时，函数 y=logax 和 y=(1－a)x 的图象只可能是( )二、填空题3.(★★★★★)已知函数 f(x)=.则 f-－1(x－1)=_________.  )02( )(log)0( 22xxxx4.(★★★★★)如图，开始时，桶 1 中有 a L 水，t 分 钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y= ae－nt,那么桶 2 中水就是 y2=a－ae－nt,假设过 5 分钟时， 桶 1 和桶 2 的水相等，则再过_________分钟桶 1 中的水只有.8a三、解答题5.(★★★★)设函数 f(x)=loga(x－3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点 时，点 Q(x－2a,－y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1)写出函数 y=g(x)的解析式； (2)若当 x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),(x∈(0,+∞)),若 x1,x2∈(0,+∞),判断［f(x1)+f(x2)］与 f()的大小，并加以证明.21 221xx 7.(★★★★★)已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠1),求 loga(xy)的取值范围.8.(★★★★)设不等式 2(logx)2+9(logx)+9≤0 的解集为 M，求当 x∈M 时函数 f(x)21 21=(log2)(log2)的最大、最小值. 2x 8x参考答案 难点磁场解：(1)由>0,且 2－x≠0 得 F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则xx  11F(x2)－F(x1)=()+()1221 21 xx11 2 22 211log11logxx xx ,)1)(1 ()1)(1 (log)2)(2(2121 2 2112 xxxx xxxx ∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1. 因此 F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由 y=f(x)=得：2y=,xx  11log21212,11 yy xxx∴f－1(x)=,∵f(x)的值域为 R，∴f-－1(x)的定义域为 R.1212 xx当 n≥3 时，f-1(n)>.122111122111212 1nnnn nnn nnn用数学归纳法易证 2n>2n+1(n≥3),证略.(3)证明：∵F(0)=,∴F－1()=0,∴x=是 F－1(x)=0 的一个根.假设 F－1(x)=0 还有一个21 21 21解 x0(x0≠),则 F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x0≠).这是不可能的，故 F-1(x)=0 有惟一解.21 21歼灭难点训练 一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)① 又 g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1)②由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－.2x 2x答案：C 2.解析：当 a>1 时，函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选，又 a>1 时，y=(1－a)x 为 减函数. 答案：B二、3.解析：容易求得 f- －1(x)=,从而： ) 1( 2) 1( log2xxxxf－1(x－1)= ).2( ,2)2(),1(log12 xxxx答案： )2( ,2)2(),1(log12 xxxx4.解析：由题意，5 分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n=ln2.设再过 t 分钟桶 1 中51的水只有,则 y1=ae－n(5+t)=,解得 t=10.8a 8a答案：10 三、5.解：(1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x－2a,y′=－y.即 x=x′+2a,y=－y′. ∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即 y′=loga,∴g(x)=loga. ax 21 ax 1(2)由题意得 x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,又 a>0 且ax 1 aa )3(1a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga|=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)ax 1|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为 减函数，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］max=μ(a+2) =loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组的解. 1)44(log1)69(log10aaaaa由 loga(9－6a)≥－1 解得 0＜a≤,由 loga(4－4a)≤1 解得 0＜a≤,12579  54∴所求 a 的取值范围是 0＜a≤.12579 6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(当且仅当 x1=x2时取“=”号)，221xx 当 a>1 时，有 logax1x2≤loga()2,221xx ∴logax1x2≤loga()，(logax1+logax2)≤loga,21 221xx  21 221xx 即f(x1)+f(x2)］≤f()(当且仅当 x1=x2时取“=”号)21[221xx 当 0＜a＜1 时，有 logax1x2≥loga()2,221xx ∴(logax1+logax2)≥loga,即［f(x1)+f(x2)］≥f()(当且仅当 x1=x2时取21 221xx  21 221xx “=”号）. 7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4, 令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内，圆弧 (u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=－u+k 有公共点，分两类讨论.(1)当 u≥0,v≥0 时，即 a>1 时，结合判别式法与代点法得 1+≤k≤2(1+);32(2)当 u≤0,v≤0,即 0＜a＜1 时，同理得到 2(1－)≤k≤1－.x 综上，当 a>1 时，23logaxy 的最大值为 2+2，最小值为 1+；当 0＜a＜1 时，logaxy 的最大值为 1－，233最小值为 2－2.28.解：∵2(x)2+9(x)+9≤021log21log∴(2x+3)( x+3)≤0.21log21log∴－3≤x≤－.21log23即 ()－3≤x≤()21log2121log21log2123∴()≤x≤()－3,∴2≤x≤82123212即 M={x|x∈［2,8］}2又 f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.∵2≤x≤8,∴≤log2x≤3223∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=－1;当 log2x=3,即 x=8 时，ymax=0.。