多变量微积分期末复习题.pdf

第 1 页 共 8 页 清华大学本科生考试试题专用纸 清华大学本科生考试试题专用纸 班级 姓名 学号 班级 姓名 学号 一 填空题 每题一 填空题 每题4分 共分 共10题 计题 计40分 分 1 函数 222 22f x y zxyz 在点 1 1 1 处最大的方向导数为 答案 6 2 设 1 0 0 0 x y zxyzxyz 则 dyzS 答案 3 3 3 已知 01 01Dx yxy 若函数 f x y具有连续偏导数 且 1 0f x d d2 D f x yx y 则 d d D f x y yx y y 答案 2 4 设 222 1 0 x y zxyzz 则 222 d d dxyzzx y z 答案 3 4 5 若d e sincos desin d xyxy f x yyxxxxx y 且 0 0 1f 则 f x y 答案 esin1 xy x 6 设 23 f x y zxy z 则 1 1 1 grad f x y z 1 1 1 div grad f x y z 答案 23ijk 8 7 设有向曲线L的方程为 22 0 1 xyz xy 方向是从z轴的正向往原点看去为逆时针方向 则 曲线积分ddd L y xx yz z 答案 2 8 微分方程e sin x yyx 满足条件 0 0y 的解为y 答案 e 1cos x x 第 2 页 共 8 页 9 若exy 和sin2yx 是某三阶线性常系数齐次微分方程的两个解 则该微分方程 是 答案 440yyyy 10 欧拉方程 2 2lnx yxyyx 的通解为y 答案 12 cos ln sin ln 2lnCxCxx 二二 解解答答题题 共共 5 5 题题 每题每题 1 12 2 分 分 计计 6 60 0 分分 11 求函数 22 e xy f x yxy 的极值 解解 由 22 e xy f x yxy 得 22 2 12 e xy f x y yx x 22 2 12 e xy f x y xy y 令 0 0 f x y x f x y y 解得驻点 0 0 11 22 11 22 11 22 11 22 记 22 2 2 2 46 e xy f x y Axyx x 22 2 22 12 12 e xy f x y Bxy x y 22 2 2 2 46 e xy f x y Cxyy y 在点 0 0 处 由于 2 10ACB 且 2 0 e A 且 2 0 e A 所以 11111 2e2222 ff 是函数 f x y的极小值 12 设函数 f u具有二阶连续导数 且 0 0 0f f 若函数 22 ln g x yfxy 满足 方程 2 22 g x yxy x yxy 求函数 f u的表达式 解解 因为 22 ln g x yfxy 所以 22 2 gx f u xxy 2 22 222 2 44 gxyxy fuf u x yxyxy 又因为 2 22 g x yxy x yxy 所以 22 222 222 44 xyxyxy fuf u xyxyxy 即 22 11 e 44 u fuf uxy 常系数齐次线性方程 0fuf u 的通解为 12 euf uCC 设 1 e 4 u fuf u 的一个特解为 eufuAu 代入方程得 1 4 A 所以该方程的通解为 12 1 ee 4 uu f uCCu 由 0 0f 0 0 f 得 1 1 4 C 2 1 4 C 故函数 f u的表达式为 1 1ee 4 uu f uu 第 4 页 共 8 页 13 设有界区域 由抛物面 22 4936xyz 与平面1z 围成 计算三重积分 22 d d dIzxyx y z 解解法法 1 1 先先定定积积分分后后重重积分积分 柱柱坐坐标标 22 22 1 2222 94 4936 d d dd d d xy xy Izxyx y zx yzxyz 22 22 23 4936 1 1 d d 394 xy xy xyx y 设3 cos 2 sinxryr 则 2 1 226 00 1 d 2sin3cos 1 6 d 3 Irrr r 2 12 1 226239 0000 2 2sin3cos d 1 d2 2sin3cos d drrr rrrr 1139 2 4 9 41010 解法解法 2 2 先重积分后先重积分后定积分定积分 22 1 22 0 4936 d d d xyz Izzxyx y 设3 cos 2 sinxryr 则 22 1 22 0 4936 d d d xyz Izzxyx y 12 222 000 dd 3cos2sin 6 d z zz rr r 12 12 22342 00000 331 6d 3cos2sin ddd 3cos2sin d 9 4 225 z zzrrzz 39 10 解法解法 3 3 广广义义球坐标球坐标 设 3 cos sin 2 sinsin cosxryrzr 首先确定平面1z 和 22 4936xyz 相交时 角的大小 相交时 由 22 493636xyz 可以得到 22 sin1r 由cos1zr 得到 22 cos1r 因此 2 2r 2 cos 2 4 第 5 页 共 8 页 方程1z 化为 1 cos r 曲面 22 4936xyz 化为 2 cos sin r 所以 1 2 2222 4cos 000 ddcos 3 cos sin2 sinsin 6sin dIrrrrr 2 cos 2 2222 2 sin 00 4 ddcos 3 cos sin2 sinsin 6sin drrrrr 1 2 2326 4cos 000 6 3cos2sin dsincosddrr 2 cos 2 2326 2 sin 00 4 6 3cos2sin dsincosddrr 2 232 4 7 00 61 3cos2sin dsincosd 7cos 14 7 2 232 2 0 4 6cos 3cos2sin dsincosd 7 sin 11 9 3 2 4 5 0 4 61cos 13 sindd 7cos sin 6739 13 72010 14 设有向曲线段L的起点是 0 0 终点是 2 4 方程为 4 yx x 计算曲线积分 2 1 42 e d2 1 e d xx L Iyxyxyxxxyy 解解法法 1 1 将将曲曲线线积积分分化化为为定积分定积分 2 2222 0 4 1 4 4 2 4 e d2 1 4 e 2 4 d xx Ixxxx xxxxxxxxx 2 2222 0 4 1 4 4 2 4 2 1 4 24 e d x xxxx xxxxxxxx 2 8e 解法解法 2 2 记 2 1 42 exP x yyxyxy 2 1 exQ x yxxy 则 12 P QC R 且 4222 ex Q x y xyxy x 4222 ex P xyxy y 因此 QP xy 所以曲线积分与路径无关 取 1 L是从点 0 0 到点 2 0 的线段 2 L是从点 2 0 到点 2 4 的线段 则 12 LL I 24 2 00 0d2 122 e dxyy 第 6 页 共 8 页 2 8e 15 计算曲面积分 3 222 2 dddddd x yzy zxz xy I xyz 的方程为 22 1zxy 上侧为正 的方程为 22 4 1 49 xy z 上侧为正 解 解 3 222 2 dddddd x yzy zxz xy I xyz ddddddx yzy zxz xy 取 1 0z 22 1xy 下侧为正 记 与 1 围成的半球体为 1 则 ddddddIx yzy zxz xy 11 ddddddddddddx yzy zxz xyx yzy zxz xy 11 3d d dddddddx y zx yzy zxz xy 2 02 解法解法 1 1 设 2 的方程为 22 4 1 49 xy z 取下侧为正 可知 2 3 222 2 1dddddd dddddd 2 x yzy zxz xy Ix yzy zxz xy xyz 2 的方程为 222 1 4916 xyz 取外侧为正 设 3 的方程为 222 1xyz 取外侧为正 设由 2 与 3 围城的空间区域为V 则 23 33 222222 22 dddddddddddd x yzy zxz xyx yzy zxz xy xyzxyz 333 222222222 222 div d d d0d d d0 VV xyz x y zx y z xyzxyzxyz 即 23 33 222222 22 dddddddddddd x yzy zxz xyx yzy zxz xy xyzxyz 第 7 页 共 8 页 由第一问可以知道 3 3 222 2 dddddd 4 x yzy zxz xy xyz 因此 2 3 222 2 1dddddd 2 2 x yzy zxz xy I xyz 解法二 设 4 的方程为 22 1zxy 下侧为正 设 5 为xOy平面上介于 22 1xy 与 22 1 49 xy 之间的区域 下侧为正 与 4 及 5 围成的区域记为 2 3 222 2 dddddd x yzy zxz xy I xyz 23 3 222 2 dddddd x yzy zxz xy xyz 2 3 222 2 dddddd x yzy zxz xy xyz 3 3 222 2 dddddd x yzy zxz xy xyz 2 23 333 222222222 222 33 222222 22 d d d dddddddddddd xyz divx y z xyzxyzxyz x yzy zxz xyx yzy zxz xy xyzxyz 223 33 222222 22 dddddddddddd 0d d d x yzy zxz xyx yzy zxz xy x y z xyzxyz 0202 三三 附附加加题题 5 5 分分 设 2 RD 是一平面区域 X x y Y x yC D 证明 曲线积分 d d L X x yxY x yy 在D上与路径无关 的充分必要条件是 d dX x yxY x yy 是D上的全微分式 证证 必要性证明 在D中取定 00 A xy 任取 B x y 设D内连接 A B的路径为L 令 00 d d x y L xy x yX s tsY s tt 因为曲线积分 d d B L A X x yxY x yy 与路径无关 且 X x y Y x yC D 所以 0 lim x x yxx yx y xx 第 8 页 共 8 页 0000 0 d d d d lim xx yx y xyxy x X s tsY s ttX s tsY s tt x 0 d d lim xx y x y x X s tsY s tt x 00 d limlim xx x xx X s ys X xx yX x y x x y Y x y y 从而函数 x y 可微 且 d d dx yX x yxY x yy x yD 故 d dX x yxY x yy 是D上的全微分式 充分性证明 设d d dx yX x yxY x yy x yD 设L是D内的任意一条 分段 光滑曲线段 A B是其端点 又设L xx t yy t A对应参数a B对应参数b 则 d d B L A X x yxY x yy d b a X x ty tx tY x ty ty tt d d d b a x ty tt t x by bx ay aBA 故曲线积分 d d L X x yxY x yy 在D上与路径无关 。