中考数学专题复习专题48中考数学数形结合思想(教师版含解析).pdf

中考专题 48 中考专题数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数” “以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等1. 数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度, 利用几何图形的性质研究数量关系, 寻求代数问题的解决方法( 以形助数 ), 或利用数量关系来研究几何图形的性质, 解决几何问题 ( 以数助形 ) 的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决2. 数形结合思想应用常见的四种类型(1) 实数与数轴实数与数轴上的点具有一一对应关系, 借助数轴观察数的特点, 直观明了2) 在解方程 ( 组) 或不等式 ( 组) 中的应用利用函数图象解决方程问题时, 常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决; 利用数轴或函数图象解有关不等式( 组) 的问题直观 ,形象 , 易于找出不等式( 组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

3) 在函数中的应用借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法, 函数图象的几何特征与数量特征紧密结合 , 体现了数形结合的特征与方法4) 在几何中的应用对于几何问题, 我们常通过图形, 找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系, 得出图形的性质等3. 数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之, 数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述. 数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时, 想到它的图形 , 从而启发思维 , 找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识, 解决几何的问题. 实现了抽象概念与具体图形的联系和转化, 化难为易 , 化抽象为直观. 【经典例题1】(2020 年?遵义 ) 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15 时，如图在 RtACB中，C90，ABC30，延长CB使BDAB， 连接AD， 得D15， 所以 tan15 =?=12+3=2-3(2+3)(2-3)= 2- 3类比这种方法，计算tan22.5 的值为 ( ) A 2 + 1 B 2 - 1 C 2D12【标准答案】B 【分析】在RtACB中，C90，ABC 45，延长CB使BDAB，连接AD，得D22.5 ，设ACBC1，则ABBD= 2，根据 tan22.5 =?计算即可【答案剖析】在RtACB中，C90，ABC 45，延长CB使BDAB，连接AD，得D22.5 ，设ACBC1，则ABBD= 2，tan22.5 =?=11+2= 2 - 1 【知识点练习】(2019 ?湖北省仙桃市) 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A BCD【标准答案】C 【解答】解：解不等式x1 0 得 x1，解不等式52x1 得 x2，则不等式组的解集为1x2 【经典例题2】 (2020 年?济宁 ) 数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图， 直线yx+5 和直线yax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5ax+b的解是 ( ) Ax20 Bx5 Cx25 Dx15 【标准答案】A 【分析】两直线的交点坐标为两直线答案剖析式所组成的方程组的解【答案剖析】直线yx+5 和直线yax+b相交于点P(20 ，25) 直线yx+5 和直线yax+b相交于点P为x20【知识点练习】(2020 年株洲模拟 ) 直线 y=k1x+b1(k10)与 y=k2x+b2(k20) 相交于点 ( 2，0) ，且两直线与y 轴围城的三角形面积为4，那么 b1b2等于【标准答案】4 【答案剖析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点( 交点、原点等 ) ，做到数形结合如图，直线y=k1x+b1(k10) 与 y 轴交于 B点，则 OB=b1，直线 y=k2x+b2(k20)与 y 轴交于 C，则 OC= b2， ABC的面积为4，OA ?OB+=4，+=4，解得： b1b2=4【经典例题3】(2020 年通化模拟 ) 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2 的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG 按图 1 位置放置， AD与 AE在同一直线上，AB与 AG在同一直线上(1) 小明发现DG BE ，请你帮他说明理由(2) 如图 2，小明将正方形ABCD 绕点 A逆时针旋转，当点B恰好落段DG上时，请你帮他求出此时BE的长(3) 如图 3，小明将正方形ABCD 绕点 A继续逆时针旋转，线段DG与线段 BE将相交，交点为H，写出 GHE与 BHD面积之和的最大值，并简要说明理由【标准答案】见答案剖析。

答案剖析】(1) 四边形ABCD 和四边形AEFG都为正方形，AD=AB ， DAG= BAE=90 ， AG=AE ，在 ADG和 ABE中， ADG ABE(SAS) ， AGD= AEB ，如图 1 所示，延长EB交 DG于点 H，在 ADG中， AGD+ ADG=90 ， AEB+ ADG=90 ，在 EDH中， AEB+ ADG+ DHE=180 ， DHE=90 ，则 DG BE ；(2) 四边形ABCD和四边形 AEFG都为正方形，AD=AB ， DAB= GAE=90 ， AG=AE ， DAB+ BAG= GAE+ BAG ，即 DAG= BAE ，在 ADG和 ABE中， ADG ABE(SAS) ，DG=BE ，如图 2，过点 A作 AM DG交 DG于点 M ， AMD= AMG=90 ，BD为正方形ABCD 的对角线， MDA=45 ，在 RtAMD 中， MDA=45 ，cos45=，AD=2，DM=AM=，在 RtAMG 中，根据勾股定理得：GM=，DG=DM+GM= +，BE=DG=+；(3) GHE 和 BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于 EGH ，点 H在以 EG为直径的圆上，当点 H与点 A重合时， EGH 的高最大；对于 BDH ，点 H在以 BD为直径的圆上，当点 H与点 A重合时， BDH的高最大，则 GHE和 BHD面积之和的最大值为2+4=6【知识点练习】(2020 年山东日照模拟) 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图1，在RtABC中， ACB=90 ， ABC=30 ，则： AC= AB探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究(1) 如图 1，连接 AB边上中线 CE，由于 CE= AB ，易得结论：ACE为等边三角形；BE与 CE之间的数量关系为(2) 如图 2，点 D是边 CB上任意一点，连接AD ，作等边 ADE ，且点 E在 ACB的内部，连接BE 试探究线段 BE与 DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明(3) 当点 D为边 CB延长线上任意一点时，在(2) 条件的基础上，线段BE与 DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点 A的坐标为 ( ，1) ，点 B是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB为边作等边 ABC ，当 C点在第一象限内，且B(2，0) 时，求 C点的坐标【标准答案】见答案剖析。

解答】探究结论(1) 如图 1 中， ACB=90 ， B=30， A=60，AC= AB=AE=EB ， ACE是等边三角形，EC=AE=EB ，故标准答案为EC=EB (2) 如图 2中，结论： ED=EB 理由：连接PE ACP ， ADE都是等边三角形，AC=AD=DE，AD=AE ， CAP= DAE=60 ， CAD= PAE ， CAD PAE ， ACD= APE=90 ，EPAB ， PA=PB ，EA=EB ， DE=AE ，ED=EB (3) 当点 D为边 CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB ，故标准答案为ED=EB 拓展应用：如图3 中，作 AH x 轴于 H，CFOB于 F，连接 OA A(， 1) ， AOH=30 ，由(2) 可知， CO=CB ，CFOB ，OF=FB=1 ，可以假设C(1，n)，OC=BC=AB，1+n2=1+(+2)2，n=2+，C(1，2+) 一、选择题1(2020 年?温州 ) 如图，在离铁塔150 米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为 1.5 米，则铁塔的高BC为( ) A(1.5+150tan )米B(1.5 +150?) 米C(1.5+150sin )米D(1.5 +150?) 米【标准答案】A 【分析】 过点A作AEBC，E为垂足， 再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BCCE+BE即可得出结论【答案剖析】过点A作AEBC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE150，CEAD1.5 ，在ABE中， tan =?=?150，BE150tan ，BCCE+BE(1.5+150tan )(m) 2(2020 年恩施州模拟) 如图， 在平行四边形ABCD中，EFAB交 AD于 E，交 BD于 F，DE ：EA=3：4，EF=3 ，则 CD的长为 ( ) A. 4 B. 7 C. 3 D. 12 【标准答案】B 【答案剖析】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用DE：EA=3 ：4，DE：DA=3 ：7 EFAB ，EF=3，解得： AB=7 ，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=7 故选 B3(2020 年济南模拟 ) 如图，抛物线y=2x2+8x6 与 x 轴交于点A、B，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1向右平移得C2， C2与 x 轴交于点B， D 若直线y=x+m与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则m的取值范围是 ( ) A2m B 3m C 3m 2 D 3m 【标准答案】D 【答案剖析】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度令 y=2x2+8x6=0，即 x24x+3=0，解得 x=1 或 3，则点 A(1，0) ，B(3，0) ，由于将 C1向右平移2 个长度单位得C2，则 C2答案剖析式为y=2(x 4)2+2(3 x5) ，当 y=x+m1与 C2相切时，令 y=x+m1=y=2(x 4)2+2，即 2x215x+30+m1= 0，=8m115=0，解得 m1=，当 y=x+m2过点 B时，即 0=3+m2，m2=3，当 3m 时直线 y=x+m与 C1、 C2共有 3 个不同的交点。

二、填空题4(2020 年乌鲁木齐模拟) 如图，抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=1且过点 (，0) ，有下列结论：abc0； a2b+4c=0； 25a10b+4c=0； 3b+2c0； a bm(am b)；其中所有正确的结论是( 填写正确结论的序号) 【标准答案】【答案剖析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的答案剖析式由抛物线的开口向下可得：a0，根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得： a， b 同号，所以b0，根据抛物线与y 轴的交点在正半轴可得：c0，abc0，故正确；直线。